Question

Desenhe o conjunto A e calcule sua área.
a) A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ 4 − x^2 .
b) A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ |senx|, com 0 ≤ x ≤ 2π.

Answer 1

Olá,

a) Para começar a estão necessitamos encontrar os valores possíveis para x

$4-x^2=0\Rightarrow x=\pm2$

Agora que já sabemos os limites podemos jogar nas integrais

$A=\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{0}^{4-x^2}1dydx$

$A=\int\limits_{-2}^{2}(4-x^2)dx$

$A=4x-\frac{x^3}{3}|_{-2}^{2}$

$A=(4\cdot2)-\frac{2^3}{3}-[4\cdot(-2)-\frac{(-2)^3}{3}$

$\boxed{\boxed{A=\frac{32}{3}~u.a.}}$

b) Agora para descobrir os limites de x temos que encontrar para quais valores o seno é positivo e qual é negativo, como já sabemos analisando um circulo trigonométrico, só vou escrever:

$\begin{Bmatrix}0<x<\pi\Rightarrow sin(x)\\\pi<x<\2pi\Rightarrow -sin(x)\end{matrix}$

Desta forma

$A=A_1+A_2$

$A_1=\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\sin(x)}1dydx$

$A_1=\int\limits_{0}^{\pi}\sin(x)dx$

$A_1=-\cos(x)|_0^{\pi}$

$A_1=-\cos(\pi)+\cos(0)\Rightarrow\boxed{A_1=2}$

$A_2=\int\limits_{\pi}^{2\pi}\int\limits_{0}^{-\sin(x)}1dydx$

$A_2=\int\limits_{\pi}^{2\pi}-\sin(x)dx$

$A_2=\cos(x)|_{\pi}^{2\pi}$

$A_2=\cos(2\pi)-\cos(\pi)\Rightarrow\boxed{A_2=2}$

Desta forma a área total

$A=A_1+A_2\Rightarrow\boxed{\boxed{A=4~u.a.}}$