• Matéria: Matemática
  • Autor: fabianaffreitas1
  • Perguntado 7 anos atrás

se x for um número real positivo e se valer a igualdade de 1+x+x²+x³+...=3, entao o valor de x será

Respostas

respondido por: gaaaamaral123
3

Olá,


De início já vemos que é uma série geométrica, isto é, a soma de infinitos termos que vão sendo multiplicados por um valor constante a cada termo que passa.


1+x+x^2+x^3+...=3


Escrevendo melhor para mostrar que temos uma séries


\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=3


Podemos usar então a fórmula conhecida no ensino médio como "Soma dos termos de uma PG infinita"


S_n=\frac{a_1}{(1-q)}


Onde os termos seriam \{a_1,a_2,a_3,a_4,...\}=\{1,x,x^2,x^3,...\}, então percebemos que a cada termo temos a multiplicação de x


a_n=a_1\cdot q^{n-1}


Desta forma


a_n=x^{n-1}


Pode conferir pra ver se não é isso mesmo.


Agora fazendo a soma pela fórmula


S_n=\frac{a_1}{(1-q)}


Onde: \begin{Bmatrix}S_n=3\\a_1=1\\q=x\end{matrix}


Substituindo


3=\frac{1}{(1-x)}


3\cdot(1-x)=1


3-3x=1


\boxed{\boxed{x=\frac{2}{3}}}


Espero que tenha gostado da resolução.

respondido por: EinsteindoYahoo
4

Resposta:


É uma PG

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

a1=1

q=x

1*(1-x^n)/(1-x)= 3

(1-x^n)/(1-x) = 3

para n infinito

Lim (1-x^n)/(1-x) =3       ==>x^(n)=0

n-->∞

1/(1-x)=3

1/3=1-x

-2/3=-x

x=2/3 é a resposta

Perguntas similares