Question

um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira 14 na segunda , 16 na terceira , as demais fileiras se compõem na mesma sequência .quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas

Answer 1

1ª fileira: 12 poltronas
2ª fileira: 14 poltronas
3ª fileira: 16 poltronas
...

Percebemos que essa sequência é uma progressão aritmética de razão 2

Achando o termo geral da P.A:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\a_{n}=12+(n-1)2\\a_{n}=12+2n-2\\a_{n}=2n+10$

Sabemos que a soma dos 'n' primeiros termos dessa P.A é 620 (total de poltronas em 'n' fileiras):

$S_{n}=620~~~~\therefore~~~~(a_{1}+a_{n})\cdot\dfrac{n}{2}=620~~~~\therefore~~~~(a_{1}+a_{n})\cdot n=1240$

Trocando a₁ e an:

$(12+2n+10)\cdot n=1240\\(2n+22)\cdot n=1240\\2n^{2}+22n=1240\\2n^{2}+22n-1240=0~~~~(\div~2)\\n^{2}+11n-620=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=11^{2}-4\cdot1\cdot(-620)\\\Delta=121+2480\\\Delta=2601\\\\n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-11\pm\sqrt{2601}}{2\cdot1}=\dfrac{-11\pm51}{2}$

Temos essas possibilidades para 'n':

$n'=\dfrac{-11+51}{2}=\dfrac{40}{2}=20\\\\\\n''=\dfrac{-11-51}{2}=\dfrac{-62}{2}=-31$

Como n ≥ 0:

$\boxed{\boxed{n=20}}$

São necessárias 20 fileiras