Question

Um balão de borracha de forma esférica é enchido de ar, de modo que seu raio aumenta à razão de 0,2 cm/s. Calcule a taxa de variação do volume desse balão em relação ao tempo (em m3/s), no instante em que o raio for igual a 10 cm.

Answer 1

Resposta:

$\pi8,0*10^{-5}m^{3} /s$

Explicação passo-a-passo:

À medida que o balão recebe ar, ele toma forma de esfera. E como toda esfera tem seu volume definido pela forma:

$V =\frac{4\pi r^{3} }{3}$, onde r refere-se ao raio do balão

Quando derivamos a equação do volume obtemos a taxa de variação do volume em função do raio:

$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^{2}$

Quando multiplicamos a taxa de variação do volume em função do raio e a taxa do raio em função do tempo, obteremos a taxa de variação do volume em função do tempo:

$\frac{dV}{dr} *\frac{dr}{ds} =\frac{dV}{ds}$

o $\frac{dr}{ds}$ nós temos, que é 0,2cm/s.

o $\frac{dV}{dr}$ nós temos sua fórmula: $4\pi r^{2}$. Porém, ele quer saber a taxa de variação do volume em função do tempo quando o raio for de 10cm. Sendo assim, substituiremos r por 10cm.

$\frac{dV}{dr} =4\pi r^{2} =4\pi 10^{2} = 400\pi \frac{cm^{3} }{cm} =400\pi cm^{2}$

Afora que temos o $\frac{dr}{ds} =0,2\frac{cm}{s}$ e o $\frac{dV}{dr} = 400\pi cm^{2}$, lancemos na equação que fornece o $\frac{dV}{ds}$:

$\frac{dV}{ds} =\frac{dV}{dr} *\frac{dr}{ds} = 400\pi cm^{2} *0,2\frac{cm}{s} = 80\pi \frac{cm^{3} }{s}$.

A taxa de variação do volume em relação ao tempo é 80$\pi$ cm³.

Como ele quer em metros cúbicos, divida por 1 milhão:

$\frac{80\pi cm^{3} }{1000000} = 0,00008\pi m^{3} =\pi8,0*10^{-5} m^{3}/s$