Question

Determinar uma equação geral do plano pi que contenha as retas:

r1{x=1+2t; y=-2=3t; z=3-t} e r1{x=1-2t; y=-2-t; z=3+2t}

Assinale a alternativa CORRETA

Answer 1

Resposta: 5x-2y+4z-21:0

Answer 2

Olá!

O primeiro passo é encontrar o vetor diretor de cada uma das retas. O vetor diretor seria uma vetor que tem o mesmo sentido e direção da reta proposta, para poder encontrá-lo, precisamos pegar somente os coeficientes de t em cada parâmetro da reta.

Diretor de r1 = (2,3,-1)

Diretor de r2 = (-2, -1, 2)

Realizando o produto vetorial de r1 x r2 obtemos o vetor normal(perpendicular) ao plano:

$\det \begin{pmatrix}i&j&k\\ 2&3&-1\\ -2&-1&2\end{pmatrix}=\left(-2j+4k\right)+5i$

Portanto o vetor normal ao plano é (5,-2,4).

Para encontrarmos a equação do plano, precisamos fazer o produto escalar do vetor normal com um vetor conhecido no plano, e depois igual a 0 (condição para os dois vetores serem perpendiculares.

$N . (P_0P_1) =0$

$P_0$ é um ponto conhecido no plano, podemos utilizar o ponto (1,-2,3), que corresponde a um ponto na r1 quando t=0 (poderia ser outro ponto)

$P_1$ é um ponto genérico (x,y,z)

$P_0P_1 = (x - 1,y + 2,z-3)$

Logo:

$N . (P_0P_1) =0$

$(5,-2,4).(x -1,y+2,z-3)=0$

A equação do plano é 5x -5 -2y -4 +4z -12 =0 ou 5x -2y  +4z - 21 =0

Espero ter ajudado!