Question

Sejam ABC e DEF dois triângulos equiláteros. Sabendo que o perímetro de DEF é 3 unidades maior que o perímetro de ABC e sua área é o dobro da área de ABC, qual a medida dos lados de ABC?

Answer 1

Lembrando:

--> Triangulos equilateros possuem 3 lados iguais.

--> Perimetro no triangulo equilatero = 3 x Lado

--> Area no triangulo equilatero = $\frac{Lado^2.\sqrt{3}}{4}$

"o perímetro de DEF é 3 unidades maior que o perímetro de ABC":

Perimetro(DEF) = Perimetro(ABC) + 3

3.Lado(DEF) = 3.Lado(ABC) + 3

Lado(DEF) = ( 3.Lado(ABC) + 3 ) / 3

Lado(DEF) = Lado(ABC) + 1    **

** Para facilitar a escrita vamos chamar Lado(DEF) de L1 e Lado(ABC) de L2.

"sua área é o dobro da área de ABC":

Area(DEF) = 2.Area(ABC)

$\frac{L_{1}^2.\sqrt{3}}{4}=2.\frac{L_{2}^2.\sqrt{3}}{4}\\\\L_{1}^2=2.L_{2}^2\\\\(L_{2}+1)^2=2.L_{2}^2\\\\L_2^2+2L_2+1=2.L_2^2\\\\L_2^2-2L_2-1=0\\\\Bhaskara\\\Delta=(-2)^2-4.1.(-1)\\\Delta = 4 + 4\\\Delta=8\\\\L_2=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$

Nao podemos ter medidas de lado negativas então L2 = 1 - √2  pode ser descartada.

Assim L2 = 1 + √2

Como L1 = L2 + 1

Então L1 = 2 + √2

Resposta:  Lado(DEF) = 2 + √2

                  Lado(ABC) = 1 + √2