Question

Num acidente ecológico, em que ocorreu vazamento de óleo de um navio cargueiro, os especialistas envolvidos no evento detectaram que a mancha de óleo era de formato aproximadamente elíptico, com semieixos variando com o tempo. No instante em que o semieixo menor media 100m, ele crescia à taxa de 1m/min, e, neste mesmo instante, o semieixo maior media 200m e crescia à taxa de 2m/min. Calcule a que velocidade aumentava a área da mancha neste instante. Adote = 3 e lembre-se de que a área de uma elipse de semi-eixos a e b é dada por = .

Answer 1

Utilizando taxas relacionadas, temos que a área da elipse em função da medida dos semi-eixos é:

A = πab

Temos que descobrir a variação da área em função do tempo, ou seja, dA/dt, e temos a variação da medida dos semi-eixos em função do tempo, da/dt e db/dt. Podemos equacionar as taxas relacionadas através da expressão:

dA/dt = da/dt * dA/da + db/dt * dA/db

Temos então que:

da/dt = 1 m/min

db/dt = 2 m/min

dA/da = πb

dA/db = πa

Substituindo, temos:

dA/dt = 1πb + 2πa

dA/dt = 1*3*200 + 2*3*100

dA/dt = 600 + 600

dA/dt = 1200 m²/min