Question

Na figura abaixo, temos um retângulo inscrito em uma circunferência. Se esse retângulo tem área de 24 cm² e perímetro de 20 cm, qual é o valor da área sombreada? Utilize a aproximação π = 3. Por favor explicar raciocínio 

Answer 1

As alternativas são:

a) 12 cm²

b) 14 cm²

c) 15 cm²

d) 16 cm²

e) 18 cm²

Solução

Vamos considerar que a largura do retângulo seja x e o comprimento seja y.

Sabemos que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões, ou seja,

x.y = 24.

Além disso, sabemos que perímetro é igual à soma de todos os lados do polígono, ou seja,

2x + 2y = 20

x + y = 10

x = 10 - y.

Substituindo o valor de x em xy = 24:

(10 - y).y = 24

10y - y² = 24

y² - 10y + 24 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos dois valores para y: y = 4 e y = 6.

Se y = 4, então x = 6 ou Se y = 6, então x = 4.

Perceba que a diagonal do retângulo é justamente o diâmetro da circunferência.

Vamos considerar que o diâmetro é d.

Então, pelo Teorema de Pitágoras:

d² = 4² + 6²

d² = 16 + 36

d² = 52

d = 2√13.

Assim, o raio da circunferência é igual a r = √13 cm.

Perceba que a área sombreada é igual à área da circunferência menos a área do retângulo.

Logo,

A = π.(√13)² - 24

A = 13.3 - 24

A = 39 - 24

A = 15 cm².

Alternativa correta: letra c).