Question

1)

Seja o campo vetorial:




o qual é conservativo e cuja função potencial associada é:




onde C é uma constante real.


Podemos empregar o cálculo das integrais de linha, em associação com o Teorema Fundamental das integrais de linha, para avaliar o trabalho realizado por campos vetoriais no deslocamento de partículas no plano.


Com base nessas informações, qual das seguintes alternativas indica corretamente o trabalho realizado pelo campo vetorial conservativo F ao mover uma partícula, no plano, do ponto A(1,0) para o ponto B(3,-1)?


Alternativas:


a)

O trabalho realizado pelo campo vetorial F é igual a 12.


b)

O trabalho realizado pelo campo vetorial F é igual a 24.


c)

O trabalho realizado pelo campo vetorial F é igual a 33.


d)

O trabalho realizado pelo campo vetorial F é igual a 38.


e)

O trabalho realizado pelo campo vetorial F é igual a 51.

Answer 1

Olá!

O primeiro passo a ser feito é parametrizar a curva correspondente do ponto A ao ponto B:

V = AB = (2,-1)

r(t) = V.t + A = (2,-1)t + (1,0) = (2t +1, -t)

O trabalho é dado pela integral do campo vetorial sobre a curva:

$W\:=\:\int \:F\left(x,y\right).dr$

dr é a derivada de r(t) em relação a t, logo:

$r\left(t\right)\:=\:\left(2t\:+\:1,-t\right)$

$dr\:=\:\left(2,-1\right)dt$

Então:

$W\:=\:\int \:\:\left(8x-3y,-3x+3\right).\left(2,-1\right)dt$

Para facilitar, vamos realizar o cálculo do produto escalar separadamente:

(8x - 3y, -3x + 3).(2,-1) = 16x - 6y + 3x - 3

$W\:=\:\int 16x\:-\:6y\:+\:3x\:-\:3dt$

Ainda tem um problema, pois a integral está em função de t, mas a função está em função x e y, então vamos passar tudo para o domínio de t, onde x = 2t +1 e y = -t

$W\:=\:\int \left(16\left(2t\:+1\right)\:-\:6\left(-t\right)\:+\:3\left(2t+1\right)\:-\:3\right)dt$

Agora precisamos definir o intervalo de variação de t para poder resolver a integral, analisando os pontos, temos que t varia de 0 a 1, logo:

$W\:=\:\int _0^1\:\left(16\left(2t\:+1\right)\:-\:6\left(-t\right)\:+\:3\left(2t+1\right)\:-\:3\right)dt$

$W = \int _0^116\left(2t+1\right)-6\left(-t\right)+3\left(2t+1\right)-3dt=38J$

Resposta: Letra D

Answer 2

Resposta:

calculo iv aval. subs questão 3

b)

I – V; II – F; III – V.

corrigida pelo ava

Explicação passo-a-passo: