Question

URGENTEEEEE

a sequência (20+5x, 3x, 2x-5...) é uma progressão geométrica infinita e de termos negativos. Calcule a soma de seus termos.

Answer 1

Vamos começar achando "x" pela equação da razao:

$razao = \frac{a_{n+1}}{a_n}\\\\razao=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}\\\\\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}\\\\\frac{2x-5}{3x}=\frac{3x}{20+5x}\\\\9x^2=(2x-5)(20+5x)\\\\9x^2=10x^2+15x-100\\\\x^2+15x-100=0\\\\Bhaskara\\\\\Delta=625\\\\x_1=\frac{-15+\sqrt{625}}{2}=\frac{10}{2}=5\\\\x_2=\frac{-15-\sqrt{625}}{2}=\frac{-40}{2}=-20$

É dito que os termos são negativos, logo x1 pode ser descartado.

Assim x = -20.

Para calcular a soma dos termos na PG infinita, precisamos achar a1 e a razao, logo:

$razao=\frac{3x}{20+5x}\\\\razao=\frac{3.(-20)}{20+5.(-20)}\\\\razao=\frac{-60}{-80}\\\\razao = \frac{3}{4}$

$a_1=20+5x\\\\a_1=20+5.(-20)\\\\a_1=20-100\\\\a_1=-80$

Agora aplicando a equação da soma dos termos da PG infinita:

$S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}\\\\S_{\infty}=\frac{-80}{1-\frac{3}{4}}\\\\S_{\infty}=\frac{-80}{\frac{1}{4}}\\\\S_{\infty}=-80\;.\;4\\\\S_{\infty}=-320$