Question

5. (Pucsp) Em 1996, uma indústria iniciou a

fabricação de 6000 unidades de certo produto e,

desde então, sua produção tem crescido à taxa de

20% ao ano. Nessas condições, em que ano a

produção foi igual ao triplo da de 1996?

(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)

a) 1998

b) 1999

c) 2000

d) 2001

e) 2002

Answer 1

Podemos montar a seguinte equação:

$Producao_{futura}=Producao_{atual}.(1+Taxa)^{periodo}$

A taxa de 20% é equivalente a 20/100, logo:

$3\;.\;6000=6000.\left(1+\frac{20}{100}\right)^{periodo}\\\\\frac{3\;.\;6000}{6000}=\left(\frac{120}{100}\right)^{periodo}\\\\3=\left(\frac{12}{10}\right)^{periodo}\\\\Aplicando\;log\;nos\;dois\;lados:\\\\log3=log\left(\frac{12}{10}\right)^{periodo}\\\\log3=log\left(\frac{2.2.3}{10}\right)^{periodo}\\\\log3=periodo\,.\,log\left(\frac{2.2.3}{10}\right)\\\\log3=periodo\,.\,\left((log2+log2+log3)-log10\right)\\\\0,48=periodo\,.\,\left((0,3+0,3+0,48)-1\right)$

$0,48=periodo\,.\,\left((1,08)-1\right)\\\\0,48=periodo\,.\,(0,08)\\\\periodo=\frac{0,48}{0,08}\\\\periodo=\frac{\frac{48}{100}}{\frac{8}{100}}\\\\periodo=\frac{48}{8}\\\\periodo=6\;anos$

Logo esta produção foi atingida em 1996 + 6 = 2002 (Letra E)