Em um círculo está inscrito, um quadrado é um hexano regular. Se o apótema do hexágono mede 12cm, quanto mede o lado do quadrado ?
Respostas
Resposta:
Seja o hexágono ABCDEF e o quadrado GHIJ inscritos na circunferência, como mostra a imagem 1. Seja JH a diagonal do quadrado GHIJ e seja L a medida de seu lado, de acordo com a imagem 1.
Observe o triângulo equilátero ABV, cujo lado mede l e cujo apótema mede a (vide imagem 1). Como a questão já da o valor do apótema, que é 12 cm, logo a = 12 cm.
Do triângulo retângulo BSL (vide imagem 1) temos:
l² = 12² + (l/2)² => l² = 144 + l²/4 => l² - l²/4 = 144 => (4l² - l²)/4 = 144 => 3l² = 144.4 => 3l² = 576 => l² = 576/3 => l² = 192, que fatorado dá 2⁶.3. Assim, l = √2⁶.3 => l = 2³√3 => l = 8√3 cm.
Note que a diagonal JH do quadrado GHIJ mede 2.l (vide imagem 1), ou seja, JH = 2.8√3 => JH = 16√3 cm.
Do quadrado GHIJ temos:
L² + L² = (JH)² => 2L² = (16√3)² => 2L² = 256.3 => 2L² = 768 => L² = 768/2 => L² = 384, que fatorado dá 2⁷.3. Assim, L = √2⁷.3 => L = √2⁶.2.3 => L = 2³√2.3 => 8√6 cm ou L = 8.2,45 => L = 19,2 cm, que é a medida do lado do quadrado inscrito.
Explicação passo-a-passo:
