Respostas
Vamos lá.
Veja, Silvaflavia, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para determinar o valor de "p" para que a equação abaixo tenha raízes imaginárias (ou raízes complexas):
(2p-1)x² - 2px - 2 = 0 .
ii) Agora veja: uma equação do 2º grau terá raízes imaginárias (ou raízes complexas) se - e somente se - o seu delta (b²-4ac) for negativo. Note que o delta (b²-4ac) da função da sua questão é este:
(-2p)² - 4*(2p-1)*(-2) ----- desenvolvendo, teremos (note que ((-4)*(-2) = +8):
(-2p)² + 8*(2p-1) ----- desenvolvendo, teremos:
4p² + 16p - 8 ----- Este é o delta (b²-4ac) da função da sua questão. E como queremos que ele (o delta) seja negativo (<0), então vamos impor isso, ou seja, vamos impor que:
4p² + 16p - 8 < 0 ----- note que se você aplicar Bháskara, vai encontrar que as raízes dessa função são estas:
p' = -2 - √(6); e p'' = -2 + √(6) <--- Estas são as raízes da equação encontrada.
iii) Agora vamos estudar a variação de sinais da função encontrada, que foi esta: 4p² + 16p - 8 < 0 . Assim, teremos:
4p²+16p-8 < 0 .. + + + + + (-2-√6) - - - - - - - - (-2+√6) + + + + + + + +
Como queremos que a função encontrada seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no gráfico acima. Assim, teremos que "p" deverá estar no seguinte intervalo para que a função encontrada seja negativa:
-2-√6 < p < -2+√6 ----- Esta é a resposta. Ou seja, "p" deverá estar no intervalo aberto acima para que a função originalmente dada [(2p-1)x² - 2px - 2 = 0] tenha apenas raízes imaginárias (ou raízes complexas).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.