Question

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Determine a equação reduzida da circunferência que tem centro na reta de equação $x - 2y + 9 = 0$ e que passa pelos pontos P( 1; -4) e Q( 5; 2).

Resposta: ( x + 3 )² + ( y - 3 )² = 65
Apresente o cálculo completo.

Answer 1

Seja o centro da circunferência o ponto C = (a,b). Então sabemos que a equação reduzida da circunferência vai ser da forma (x - a)² + (y - b)² = R² , onde R é o raio. Porém, temos que encontrar a, b e R, que ainda não sabemos.

Se a circunferência passa pelos pontos P e Q, então a distância entre o centro e o ponto P é igual ao raio, assim como a distância entre o centro e o ponto Q. Logo:

R² = (a - 1)² + (b + 4)²     ---> Obs: esta é a fórmula da distância entre dois pontos
R² = (a - 5)² + (b - 2)²

Igualando as duas equações:

(a - 1)² + (b + 4)² =(a - 5)² + (b - 2)²
a² - 2a + 1 + b² + 8b + 16 = a² - 10a + 25 + b² - 4b + 4
8a + 12b = 12   ---> 2a + 3b = 3

Ele diz também que o centro (a,b) está na reta x - 2y + 9 = 0, ou seja, o ponto C satisfaz a equação a - 2b + 9 = 0. Isolando o a, temos a = 2b - 9.
Substituindo, temos 
2 . (2b - 9) + 3b = 3 ---> 4b - 18 + 3b = 3 ---> b = 3

a = 2 . 3 - 9 ---> a = - 3

Com o valor de a e b, podemos achar R² utilizando:
R² = (a - 1)² + (b + 4)² = (-4)² + 7² = 16 + 49 = 65

Sendo assim, descobrimos que a equação reduzida dessa circunferência é 
(x + 3)² + (y - 3)² = 65 

Answer 2

Resposta:

a=2b-9

(1-a)²+(-4-b)²=r²

(5-a)²+(2-b)²=r²

P( 1; -4) e Q( 5; 2)

(1-a)²+(-4-b)² = (5-a)²+(2-b)²

sabemos que  a=2b-9

(1-2b+9)²+(-4-b)² = (5-2b+9)²+(2-b)²

(-2b+10)²+(-4-b)² = (-2b+14)²+(2-b)²

b=3

a=2*3-9=-3

(5+3)²+(2-3)²=r²  

64+1=r²

(x+3)²+(y-3)²=65