Question

O ponto B na figura ao lado representa um reservatório de água construído para abastecer duas casas, uma no ponto A e outro no ponto C. Sabe se que BÂC = 45°, BCA = 30° e que AC = 80m. Determine a distância entre o reservatório e a casa C.

Answer 1

Vamos começar achando o terceiro angulo no triangulo (Angulo ABC).

Para isso podemos utilizar a soma dos angulos internos do triangulo:

45° + 30° + ABC = 180°

ABC = 180° - 45° - 30°

ABC = 105°

Para achar o segmento BC, podemos utilizar a Lei dos Senos:

$\frac{AC}{sen(105^\circ)}=\frac{BC}{sen(30^\circ)}\\\\sen(105^\circ)=sen(180^\circ-105^\circ)=sen(75^\circ)\\\\\frac{80}{sen(75^\circ)}=\frac{BC}{sen(30^\circ)}\\\\Multiplicando cruzado:\\\\BC . sen(75^\circ)=80\;.\;sen(30^\circ)\\\\BC.\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=80\;.\;\frac{1}{2}\\\\BC=\frac{40}{\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)}\\\\BC=40.\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\\\BC=\frac{160}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$BC=\frac{160}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\\\BC=\frac{160(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}\\\\BC=\frac{160(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\\\\BC=40(\sqrt{6}-\sqrt{2})\;m$

Obs.: sen(75) foi calculado pelo seno da soma de arcos  sen(30°+45°)