Question

Determine x, y, z no seguinte sistema de 3 equações:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathsf{S = \left \{ (0, - 3, - 1), (- 1, - 3, 0), (3, 0, - 1), (- 1, 0, 3), (0, 1, 3), (3, 1, 0)\right \}}}$

Explicação passo-a-passo:

Determinemos o(s) valor(es) da incógnita y no sistema abaixo:

$\displaystyle \begin{cases} \mathsf{x - y + z = 2 \qquad \qquad \qquad (i)} \\ \mathsf{x^2 + y^2 + z^2 = 10 \qquad \qquad (ii)} \\ \mathsf{x^3 - y^3 + z^3 = 26 \qquad \qquad (iii)}\end{cases}$

Da equação em (i), tiramos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{x - y + z = 2} \\\\ \mathsf{(x - y + z)^2 = 2^2} \\\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{x^2 + y^2 + z^2}}_{(ii)} - 2xy + 2xz - 2yz = 4} \\\\ \mathsf{10 - 2xy + 2xz - 2yz = 4} \\\\ \mathsf{2xz = 2xy + 2yz - 6 \qquad \qquad \div(2} \\\\ \boxed{\mathsf{xz = xy + yz - 3}} \qquad \qquad \qquad \mathsf{(iv)}$

Da equação em (iii),

$\\ \displaystyle \mathsf{x^3 - y^3 + z^3 = 26} \\\\ \mathsf{x^3 + z^3 = y^3 + 26} \\\\ \mathsf{(x + z)(x^2 - xz + z^2) = y^3 + 26} \\\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{(x + z)}}_{(i)}(\underbrace{\mathsf{x^2 + y^2}}_{(ii)} - \underbrace{\mathsf{xz}}_{(iv)}) = y^3 + 26} \\\\ \mathsf{(2 + y)(10 - y^2 - xy - yz + 3) = y^3 + 26} \\\\ \mathsf{(y + 2)\left [ 10 - y^2 - y(x + z) + 3 \right ] = y^3 + 26} \\\\ \mathsf{(y + 2)\left [ 10 - y^2 - y(2 + y) + 3 \right ] = y^3 + 26}$

$\\ \displaystyle \mathsf{(y + 2)\left ( 10 - y^2 - 2y - y^2 + 3 \right ) = y^3 + 26} \\\\ \mathsf{(y + 2)(13 - 2y - 2y^2) = y^3 + 26} \\\\ \mathsf{13y - 2y^2 - 2y^3 + \cancel{26} - 4y - 4y^2 = y^3 + \cancel{26}} \\\\ \mathsf{3y^3 + 6y^2 - 9y = 0 \qquad \qquad \div(3} \\\\ \mathsf{(y^2 + 2y - 3)y = 0} \\\\ \mathsf{y(y + 3)(y - 1) = 0} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S_y = \left \{ - 3, 0, 1 \right \}}}}$

Por conseguinte, determinamos os valores de x e de z substituindo y por cada um dos valores encontrados acima!

Isto posto,

$\\ \displaystyle \bullet \quad \mathsf{Quando \ \underline{\mathsf{y = - 3}}:} \\\\ \begin{cases} \mathsf{x + z = - 1} \\ \mathsf{x^2 + z^2 = 1} \\ \mathsf{x^3 + z^3 = - 1}\end{cases}$

Igualando a primeira e a terceira equação teremos:

$\mathsf{x + z = x^3 + z^3} \\\\ \mathsf{\cancel{\mathsf{(x + z)}} = \cancel{\mathsf{(x + z)}}(x^2 - xz + z^2)} \\\\ \mathsf{1 = x^2 - xz + z^2} \\\\ \mathsf{1 = (x^2 + z^2) - xz} \\\\ \mathsf{1 = 1 - xz} \\\\ \mathsf{xz = 0}$

Resolvendo esse novo sistema, ou seja, o sistema abaixo:

$\begin{cases} \mathsf{x + z = - 1} \\ \mathsf{xz = 0} \end{cases}$

Encontramos $\boxed{\mathsf{(0, - 1), (- 1, 0)}}$

Isto posto, obtemos duas ternas como solução do sistema. São elas:

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ (0, - 3, - 1), (- 1, -3, 0) \right \}}}}$

$\\ \displaystyle \bullet \quad \mathsf{Quando \ \underline{\mathsf{y = 0}}:} \\\\ \begin{cases} \mathsf{x + z = 2} \\ \mathsf{x^2 + z^2 = 10} \\ \mathsf{x^3 + z^3 = 26}\end{cases}$

Elevando a primeira equação ao quadrado teremos:

$\mathsf{x + z = 2} \\\\ \mathsf{x^2 + 2xz + z^2 = 4} \\\\ \mathsf{10 + 2xz = 4} \\\\ \mathsf{2xz = - 6} \\\\ \mathsf{xz = - 3}$

Resolvendo esse novo sistema, isto é, o sistema abaixo:

$\begin{cases} \mathsf{x + z = 2} \\ \mathsf{xz = - 3} \end{cases}$

Encontramos $\boxed{\mathsf{(- 1, 3), (3, - 1)}}$

Isto posto, obtemos mais duas ternas como solução do sistema. São elas:

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ (3, 0, - 1), (- 1, 0, 3) \right \}}}}$

$\\ \displaystyle \bullet \quad \mathsf{Quando \ \underline{\mathsf{y = 1}}:} \\\\ \begin{cases} \mathsf{x + z = 3} \\ \mathsf{x^2 + z^2 = 9} \\ \mathsf{x^3 + z^3 = 27}\end{cases}$

Resolvendo esse novo sistema, obtemos:

$\boxed{\mathsf{(0, 3), (3, 0)}}$

Logo, obtemos as duas últimas ternas como solução do sistema. São elas:

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ (0, 1, 3), (3, 1, 0) \right \}}}}$

Espero ter ajudado!