Question

( FUVEST ) sabendo que a é um número real e que a parte imaginária do número complexo ( 2+i ) / (a+2i) é zero , então a :

Answer 1

O valor de a é 4.

Primeiramente, vamos escrever o número complexo (2 + i)/(a + 2i) na forma z = a + bi.

Para isso, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por a - 2i.

Multiplicando o numerador por a - 2i, obtemos:

(2 + i).(a - 2i) = 2a - 4i + ai - 2i²

(2 + i).(a - 2i) = 2a - 4i + ai + 2

(2 + i).(a - 2i) = (2a + 2) + i(-4 + a).

Multiplicando o denominador por a - 2i, obtemos:

(a + 2i).(a - 2i) = a² - 2ai + 2ai - 4i²

(a + 2i).(a - 2i) = a² + 4.

Logo, o número complexo (2 + i)/(a + 2i) é o mesmo que (2a + 2)/(a² + 4) + i(-4 + a)/(a² + 4).

De acordo com o enunciado, a parte imaginária é igual a zero, ou seja,

(-4 + a)/(a² + 4) = 0

-4 + a = 0

a = 4.