Question

Questão de Cálculo I - Otimização (máx e min)

Answer 1

Considere a edição no desenho (anexo).

O segmento AB será dado por Pitagora:

$AB=\sqrt{500^2+x^2}$

Assim a função que descreve o custo será:

$Custo(x) = AB\;.\;10+BC\;.\;7\\\\Custo(x)=\sqrt{500^2+x^2}\;.\;10+(800-x)\;.\;7\\\\Custo(x)=-7x+10\sqrt{500^2+x^2}+5600$

Para minimizarmos, precisamos da derivada de ordem 1:

$\frac{dCusto(x)}{dx}=-7+10.\frac{\sqrt{500^2+x^2}^{-\frac{1}{2}}.(2x)}{2}\\\\\frac{dCusto(x)}{dx}=-7+\frac{10x}{\sqrt{500^2+x^2}}$

O valor minimo (ou maximo, dependendo da aplicação), ocorrerá para o "x" que zera a derivada, logo:

$-7+\frac{10x}{\sqrt{500^2+x^2}}=0\\\\\frac{10x}{\sqrt{500^2+x^2}}=7\\\\\frac{10x}{7}=\sqrt{500^2+x^2}\\\\\left(\frac{10x}{7}\left)^2=500^2+x^2\\\\\frac{100x^2}{49}=500^2+x^2$

$100x^2=49\;.\;250000+49\;.\;x^2\\\\51x^2=12250000\\\\x=\sqrt{\frac{12250000}{51}}\\\\x=\frac{3500}{\sqrt{51}}\; \approx\;490,1m$

Como "x" é a distancia de O a B.

Resp: O ponto B deve estar a aproximadamente 490,1m de O.