Question

Sobre o conjunto de pontos de interseção da circunferência x²+ (y - 2)² = 2 com a reta mx - y

+ 2 = 0, onde m é real, podemos afirmar que:

a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos.

d) contém três pontos. e) depende de m.

Answer 1

Primeiro vamos desenvolver a equação da circunferência:
${x}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2 \\ \\ {x}^{2} + {y}^{2} - 4y + 4 = 2 \\ \\ {x}^{2} + {y}^{2} - 4y + 2 = 0$
Agora,precisamos do centro da circunferência e de seu raio,tal que:
$c = \frac{a {x}^{2} e \: b {y}^{2} }{ - 2} \\ \\ c = \frac{0}{ - 2} \: e \: \frac{ - 4}{ - 2}$
O centro é:

C(0;2)

E o raio:

$r = \sqrt{ {0}^{2} + {2}^{2} - 2} \\ \\ r = \sqrt{4 - 2} \\ \\ r = \sqrt{2}$
Usando a fórmula da distância entre ponto e reta:

$r = \frac{ |ax + by + c| }{ \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } } \\ \\ \sqrt{2} = \frac{ |m.0 + 2.( - 1) + 2| }{ \sqrt{ {m}^{2} + 1 } } \\ \\ \sqrt{ {m}^{2} + 1} . \sqrt{2} = 0 \\ \\ ( {m}^{2} + 1).2 = 0 \\ \\ 2 {m}^{2} + 2 = 0 \\ \\ {m}^{2} = - 1 \\ \\ m = i$
Isso não é um resultado real,logo,essa equação não intercepção essa circunferência em nenhum ponto de coordenadas reais.O conjunto solução é vazio.

Espero ter ajudado.

Answer 2

Podemos afirmar que: c) contém dois pontos.

Uma reta e uma circunferência podem ter: um ponto, dois pontos ou nenhum ponto em comum.

Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para resolver o exercício.

Considere o ponto $P=(x_0,y_0)$ e a reta $ax + by + c = 0$. A distância entre esses dois elementos pode ser determinada por:

• $d=\frac{|a.x_0+b.y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

O centro da circunferência x² + (y - 2)² = 2 é (0,2). Na reta mx - y + 2 = 0, temos que os coeficientes são $a = m,b = -1,c=2$.

Daí:

$d=\frac{|m.0+(-1).2+2|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=\frac{|-2+2|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{0}{\sqrt{m^2+1}}=0$.

Veja que a distância entre o centro e a reta é menor que a medida do raio da circunferência, que mede √2. Portanto, a reta é secante à circunferência.

Alternativa correta: letra c).

Exercício sobre circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/22304771