calcular o raio r e o centro da circunferência, cuja equação geral é a) x2+y2-2x-2y+1=0 b) 2x2+2y2-4x+12y-24=0
Respostas
a) O raio e o centro da circunferência são 1 e (1, 1).
b) O raio e o centro da circunferência são √22 e (1, -3).
Circunferências e suas equações
Esta questão se trata de circunferências. Uma circunferência é o conjunto dos pontos que estão à uma mesma distância de um ponto comum chamado centro. As circunferências podem ser representadas por:
- equação reduzida: (x - xc)² + (y - yc)² = r²;
- equação geral: x² + y² + mx + ny + p = 0.
Note que a equação reduzida deixa o centro e o raio explícitos, então precisamos transformar a equação geral na equação reduzida.
a) x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0
Completando quadrados, temos:
(x - 1)² + (y - 1)² + 1 = 0
x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 + 1 = 0
Para manter a igualdade, devemos subtrair 2:
(x - 1)² + (y - 1)² + 1 - 2= 0
(x - 1)² + (y - 1)² - 1= 0
(x - 1)² + (y - 1)² = 1
Essa circunferência possui centro (1, 1) e raio igual a 1.
b) 2x² + 2y² - 4x + 12y - 24 = 0
Completando quadrados, temos:
2·(x - 1)² + 2·(y + 3)² - 24 = 0
2·(x² - 2x + 1) + 2·(y² + 6y + 9) - 24 = 0
2x² - 4x + 2 + 2y² + 12y + 18 - 24 = 0
Para manter a igualdade, devemos subtrair 20:
2·(x - 1)² + 2·(y + 3)² - 24 - 20 = 0
2·[(x - 1)² + (y + 3)²] = 44
(x - 1)² + (y + 3)² = 22
Essa circunferência possui centro (1, -3) e raio igual a √22.
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