As raízes da equação x³ - 4x² +5x = 0 são:
a) 0; 2 +i; 2 -i
b) 0; 1; 3
c) 0; i; -i
d) 0
e) 1; 1 + i; 1 - i
Respostas
As raízes da equação x³ - 4x² + 5x = 0 são:
Explicação passo-a-passo:
x*(x² - 4x + 5) = 0
delta
d² = 16 - 20 = -4
d = √(-4) = 2i
x1 = 0
x2 = (4 + 2i)/2 = 2 + i
x3 = (4 - 2i)/2 = 2 - i
a) 0; 2 + i ; 2 - i
x3 = (4 - 2i)/2 = 2 - i
x3 = (4 - 2i)/2 = 2 - i
Vamos lá.
Veja, Amanda, que a resolução é mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se as raízes (reais e complexas) da seguinte equação:
x³ - 4x² + 5x = 0 ----- vamos pôr "x" em evidência, ficando assim:
x*(x² - 4x + 5) = 0 ----- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou
x = 0 ---> x' = 0 <--- Esta é uma raiz real da equação dada.
ou
x² - 4x + 5 = 0 ----- agora vamos encontrar quais são as raízes desta equação do 2º grau, com a aplicação da fórmula de Bháskara, que é esta:
x = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, fazendo essa substituição, teremos:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a
Note que os coeficientes da função do 2º grau acima [x²-4x+5 =0] são estes: a = 1 (é o coeficiente de x²); b = -4 (é o coeficiente de x); c = 5 (é o coeficiente do termo independente).
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:
x = [-(-4) ± √((-4)² - 4*1*5)]/2*1
x = [4 ± √(16 - 20)]/2 ----- note que "16-20 = -4". Logo:
x = [4 ± √(-4)]/2 ------ Veja que √(-4) = √(4)*√(-1). Assim ficaremos com:
x = [4 ± √(4)*√(-1)]/2 ----- veja √(4) = 2; e √(-1) = i . Assim, fazendo essas duas substituições, ficaremos assim:
x = [4 ± 2*i]/2 ----- ou, o que é a mesma coisa:
x = [4 ± 2i]/2 ----- mote que isto significa que cada fator do numerador está sendo dividido por "2". Ou seja, significa isto:
x = 4/2 ± 2i/2 ----- efetuando as divisões indicadas, ficaremos com:
x = 2 ± i ------ ou seja, temos que há duas raízes complexas que são:
x'' = 2-i
e
x''' = 2+i
Mas como já vimos que a equação original [x³ - 4x² + 5x = 0] tem uma raiz real e que é igual a "0", pois já a encontramos antes, então todas as raízes desta equação serão:
0; 2+i; 2-i <---- Esta é a resposta. Opção "a".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.