Question

(UFRN)

Duas partículas se movimentam no plano de acordo com as trajetórias dadas pelas funções f ( t ) = t³ e g ( t ) = 2t + 1. Após uma delas cruzar a origem, o instante t em que elas se encontram tem o valor de


a) (1 + √5)/2

b) (1 + ∛5)/2

c) (1 - ∛5)/2

d) (1 - √5)/2

Answer 1

Olá!

Temos duas funções diferentes: uma de primeiro grau, g(t) = 2t + 1, e de segundo, f(t) = t³.

Essas duas partículas acabam se encontrando em um determinado tempo T. Sendo assim, igualaremos as duas funções, obtendo uma terceira função, que chamaremos de h(t), onde as raízes desta nova função é o ponto de intersecção entre as funções f(t) e g(t):

t³ = 2t + 1

h(t) = – t³ + 2t + 1

Resolver equações de terceiro grau é um tanto difícil, pois são vários métodos que podem ser usados para obter as raízes como a de Briot Ruffin, método de Newton e assim!

Nós não temos uma raiz. No entanto, podemos descobrir a primeira raiz por um método de tentativa. Como assim? Vamos pegar o último monômio da equação, que é o 1, obteremos todos os seus múltiplos possíveis. Neste caso, para se obter 1 os múltiplos possíveis são 1 e –1. Para confirmar se 1 ou –1 é raiz, devemos lançar na fórmula e torcer que dê zero.

h(1) = – (1)³ + 2(1) + 1
h(1) = – 1 + 2 + 1 = 2

O valor 1 não é raiz. Então, tentaremos com –1:

h(–1) = – (–1)³ + 2(–1) + 1
h(–1) = –(–1) – 2 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0


Logo, uma das três raízes é –1.

Sabendo agora pelo menos uma de suas raízes, iremos aplicar uma espécie de tabela a fim de obter uma equação de segundo grau que forneça as outras duas raízes desta equação. Vamos usar os valores dos coeficientes a, b, c e D da equação de terceiro grau, que é o h(x), e colocaremos em colunas únicas, sendo a primeira coluna referente a raiz –1:
Lembrando que a, b, c e d são respectivamente –1, 0, 2 e 1.

–1 | –1 | 0 | 2 | 1

Cópia o valor da segunda coluna numa terceira linha:

–1 | –1 | 0 | 2 | 1

| –1 |

A linha central estará reservado para os valores da multiplicação da terceira linha com a raiz –1. Sempre pegando o valor da primeira coluna e lançando o resultado na segunda coluna. Obtendo na terceira linha a soma:

–1 | –1 | 0 | 2 | 1
| | 1 | -1 | –1
| –1 | 1. | 1 | 0

A terceira linha fornece os coeficientes a, b e c de uma equação de segundo grau. Sendo assim, teremos:

– x² + x + 1

Agora, descubra as raízes:

∆ = b² – 4ac
∆ = 1² – 4(–1)(1)
∆ = 1 + 4 = 5

x = -b ± √∆ / 2a

x = -1 ± √5 / -2 = 1 ± √5 / 2

x' = 1 + √5 / 2

x'' = 1 – √5 / 2


Logo, estas duas raízes fazem partes das raízes da nossa função de terceiro grau.

Para estas raízes , temos as alternativas A e D.

O enunciado diz uma destas funções cruzam a origem do plano, isto é, eles passam pela coordenada (0, 0) e segue no sentido positivo tanto do eixo X e Y.

Assim, a alternativa correta é A), pois ela está no eixo X positivo