Question

A) O número complexo z= (3+4i) é uma das raizes de qual das equações abaixo?

a) x^2 + 2X + 10 = 0
b) x^2 - 8X + 25 = 0
c) x^2 + 8X + 25 = 0
d) x^2 + 6X + 10 = 0
e) x^2 - 6X + 10 = 0

B) considere o complexo z= (1+i) - (3 - i) * (vezes) I, em que i é a unidade imaginaria do conjunto dos números complexos. O CONJUGADO (z com a barrinha em cima) é o complexo:

a) -2i
b) 2i
c) 2 -2i
d) -2 + 2i
e) -2 -2i

Answer 1

A)

Existem duas maneiras de resolver, eu vou fazer pela que acho mais simples: substituir z em toda equação e ver qual dá certo.

a) x² + 2x + 10 = 0

(3 + 4i)² + 2.(3 + 4i) + 10 = 0

9 + 2.3.4i + 16i² + 6 + 8i + 10 = 0

9 + 24i + 16.(-1) + 6 + 8i + 10 = 0

32i + 9 = 0

Não deu certo.

b) x² - 8x + 25 = 0

(3 + 4i)² - 8.(3 + 4i) + 25 = 0

9 + 2.3.4i + 16i² - 24 - 32i + 25 = 0

9 + 24i + 16.(-1) - 24 - 32i + 25 = 0

-8i + 18 = 0

Não deu certo.

c) x² + 8x + 25 = 0

(3 + 4i)² + 8.(3 + 4i) + 25 = 0

9 + 2.3.4i + 16i² + 24 + 32i + 25 = 0

9 + 24i + 16.(-1) + 24 + 32i + 25 = 0

9 + 56i - 16 + 24 + 25 = 0

56i + 42 = 0

Não deu certo.

d) x² + 6x + 10 = 0

(3 + 4i)² + 6.(3 + 4i) + 10 = 0

9 + 2.3.4i + 16i² + 18 + 24i + 10 = 0

9 + 24i + 16.(-1) + 18 + 24i + 10 = 0

48i + 21 = 0

Não deu certo.

e) x² - 6x + 10 = 0

(3 + 4i)² - 6.(3 + 4i) + 10 = 0

9 + 2.3.4i + 16i² - 18 - 24i + 10 = 0

9 + 24i - 16 - 18 - 24i + 10 = 0

24i - 24i + 19 - 34 = 0

0i - 15 = 0

Não deu certo.

Nenhuma das equações tem como raiz o número complexo z = 3 + 4i.

B)

z = (1 + i) - (3 - i) * i

z = 1 + i - (3i - i²)

z = 1 + i - (3i + 1)

z = 1 + i - 3i - 1

z = -2i

O conjugado de um número complexo é  o número complexo com a parte imaginária tendo o sinal invertido.

Neste caso:

z = 0 - 2i

Invertendo a parte imaginaria:

z = 0 + 2i

Alternativa B.

Answer 2

A)

Se 3 + 4i é uma das raízes da equação, então a outra raiz será 3 - 4i.

A equação será representada por  a · (x - x') · (x - x''), onde a = 1. Observe que nas alternativas o a = 1.

  1 · [x - (3 + 4i)] · [x - (3 - 4i)]

=  [x - (3 + 4i)] · [x - (3 - 4i)]

= x² - (3 - 4i)x - (3 + 4i)x + (3 + 4i) · (3 - 4i)

= x² - 3x + 4ix - 3x - 4ix + 9 - 12i + 12i - 16i²

= x² - 3x - 3x + 4ix - 4ix + 9 - 12i + 12i - 16 · (-1)

= x² - 3x - 3x + 4ix - 4ix + 9 - 12i + 12i + 16

= x² - 6x + 9 + 16

= x² - 6x + 25

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B)

z = (1 + i) - (3 - i) · i

z = 1 + i - (3i - i²)

z = 1 + i - 3i + i²

z = 1 + i - 3i + (-1)

z = 1 + i - 3i  - 1

z = 1 - 1 + i - 3i

z = - 2i

O conjugado de z é obtido invertendo o sinal da parte imaginária, logo $\overline{z}=2i$