Question

Demonstre a formula do volume da esfera de raio R, onde V=(4πR^3)/3 utilizando integrais triplas e coordenadas esféricas

dica: suponha a esfera centrada na origem (0,0,0) e utilize coordenadas esféricas

Answer 1

Identificando a esfera de raio $R$ centrada na origem com o conjunto

$E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2 \leq R\},$

o respetivo volume é dado pelo integral triplo

$\displaystyle \iiint\limits_E \textrm{d}V.$

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por

$\textrm{d}V = r^2\sin\theta\textrm{ d}r\textrm{ d}\theta\textrm{ d}\varphi.$

Assim, tendo em conta que os pontos de $E$ satisfazem

$\begin{cases}0 \leq r \leq R\\0 \leq \theta < \pi\\0 \leq \varphi < 2\pi\end{cases},$

vem:

$\displaystyle \iiint\limits_E \textrm{d}V = \int\limits_0^{2\pi} \int \limits_0^\pi \int\limits_0^R r^2\sin\theta \textrm{ d}r\textrm{ d}\theta\textrm{ d}\varphi = \int\limits_0^{2\pi} \textrm{ d}\varphi \int \limits_0^\pi \sin\theta \textrm{ d}\theta \int\limits_0^R r^2\textrm{ d}r = \\= [\varphi]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} [-\cos\theta]_{\theta=0}^{\theta=\pi}\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r=0}^{r=R} = 2\pi \times 2 \times \frac{R^3}{3} = \frac{4\pi R^3}{3},$

tal como pretendido.