Question

Oi. Boa noite.

Estude a variação das seguintes funções reais:

b)g(x)=8.(sendo)^2.(cosx)^2.

Eu estou com uma dúvida na determinação do período, pois o meu está dando π e no gabarito π/2

Answer 1

Resposta:

O período mínimo é, de facto, $T = \dfrac{\pi}{2}.$

Explicação passo-a-passo:

Note que se o período mínimo da função for $\dfrac{\pi}{2}$, então também se tem:

$g(x) = g(x+\pi),$

ou seja, encontrou um valor que é um período de $g$, mas não o período mínimo.

Para encontrar o período mínimo, é conveniente transformar a expressão da função de forma a eliminar os quadrados, pois para expressões da forma $\sin(kx)$ ou $\cos(kx)$ esse valor é simplesmente:

$T = \dfrac{2\pi}{k}.$

Recorde a identidade trigonométrica do seno do ângulo duplo:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Aplicando-a, obtém-se:

$g(x) = 8 \sin^2 x \cos^2 x = 2 (2\sin x\cos x)^2 = 2\sin^2(2x).$

Considere agora a fórmula do cosseno do ângulo duplo:

$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha-\sin^2\alpha.$

Utilizando a fórmula fundamental da trigonometria, obtém-se:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \iff \cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha.$

Assim, podemos ainda escrever:

$\cos(2\alpha) = (1-\sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha \iff \sin^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}.$

Portanto, fazendo $\alpha = 2x$, obtém-se:

$g(x) = 2 \times \dfrac{1-\cos(2\times 2x)}{2} = 1-\cos(4x).$

Assim, reduzimos a expressão de $g$ a um cosseno simples, cujo período mínimo é dado por:

$T = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2},$

tal como indicado no gabarito.