• Matéria: Matemática
  • Autor: roxasroxas
  • Perguntado 7 anos atrás

Sabendo que tgØ=2, escolha uma:

a) cosØ=±2√5/5
b) cosØ= 3√5/5
c) senØ=3√5/5
d) cosØ= -2√5/5
e) senØ=-√5/5
f) senØ=±2√5/5

Respostas

respondido por: adjemir
3

Vamos lá.

Veja, Roxas, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Sabendo-se que tan(Ф) = 2, escolha uma das opções abaixo como a correta (aí são dadas várias opções, que vão da letra "a" até a letra "f").

ii) Veja que tan(x) = sen(x)/cos(x). Então deveremos ter que:

tan(Ф) = sen(Ф)/cos(Ф) ----- como tan(Ф) = 2, teremos:

2 = sen(Ф)/cos(Ф) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

2cos(Ф) = sen(Ф) ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:

sen(Ф) = 2cos(Ф)    . (I).


iii) Agora vamos utilizar a primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual temos que:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen²(x) por 2cos(Ф), teremos:

[2cos(Ф)]² + cos²(Ф) = 1 ---- desenvolvendo, temos:

4cos²(Ф) + cos²(Ф) = 1 ----- como "4cos²(Ф) + cos²(Ф) = 5cos²(Ф)", temos:

5cos²(Ф) = 1 ----- isolando cos²(Ф), ficaremos com:

cos²(Ф) = 1/5 ---- isolando cos(Ф), vamos ficar com:

cos(Ф) = ±√(1/5) ----- note que isto é equivalente a:

cos(Ф) = ± √(1)/√(5) ---- para racionalizar, multiplicaremos ambos os membros por √(5). Assim, teremos:

cos(Ф) = 1*√(5) / √(5)*√(5) ------ desenvolvendo, temos:

cos(Ф) = √(5)/√(5*5)

cos(Ф) = ±√(5)/√(25) ----- como √(25) = 5, teremos:

cos(Ф = ± √(5) / 5 <---- Este deverá ser o valor de cos(Ф), com o sinal de "±" antes, pois não sabemos em que quadrante está o arco cuja tangente é igual a "2". Veja que, quanto ao cos(Ф) não temos nenhuma opção que dê que ele seja igual a "± √(5)/5". Então vamos ver qual será o sen(Ф), que também deverá vir precedido por "±", pela mesma razão já vista aí em cima. Como já vimos, pela expressão (I), que sen(Ф) = 2cos(Ф), então vamos utilizar essa expressão, que é:

sen(Ф) = 2cos(Ф) ----- substituindo-se cos(Ф) por "±√(5)/5" já visto aí em cima, teremos:

sen(Ф) = 2*[±√(5)/5] ---- ou, o que é a mesma coisa:

sen(Ф) = ±2√(5)/5 <--- Esta é a resposta. Opção "f". Ou seja, esta é a resposta, pois é a única opção correta que existe em todas as opções listadas.


É isso aí.

Deu pra entender bem?


OK?

Adjemir.


roxasroxas: Valeu!
adjemir: Agradecemos ao moderador Albertrieben pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
adjemir: Roxas, também lhe agradecemos pela melhor resposta. Continue a dispor e um cordial abraço.
respondido por: araujofranca
1

Resposta:

  f)  sen teta  =   (+- 2.raiz de (5)/5

Explicação passo-a-passo:

..Considere teta  =  x

Tg x  =  2..=> sen x / cos x  =  2

..=> sex x  =  2 . cos x

Pela relação fundamental:

sen² x  +  cos² x  =  1,   temos:

(2 . cos x)²  +  cos² x  =  1

4 . cos² x  +  cos² x  =  1

5 . cos² x  =  1

cos² x  =  1 / 5

cos x  =  +- raiz de (1/5)

cos x  =  + - raiz de (5)/5

sen x =  2 . cos x

sen x =  2 . (+- raiz de (5)/5

..Como tag x = 2, x pertence ao 1° e

3º quadrantes.


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