Respostas
O número 10 não é um número quadrado perfeito. Isso que dizer que não haverá raiz quadrada exata para esse número. O que podemos fazer nesse caso é fatorar o número em fatores primos e ver como ele fica.
Vejamos:
10|2
5 |5
1
Veja que o número 10 é escrito em números primos como 5 x 2, não havendo aí nenhum número elevado ao quadrado.
Logo, você pode escrever a raiz quadra de 10 simplesmente como √10
Bom dia, João Paulo! Segue a resposta com alguma explicação.
Resolução apresentada de duas formas, ambas por meio do método da tentativa e erro
1ª FORMA: Método da tentativa e erro diretamente, sem levar em consideração a forma fatorada.
√10
(I)Na determinação de qualquer raiz, deve-se proceder inicialmente à fatoração do número que está sob a raiz, isto é, do radicando:
10 | 2
5 | 5
1 | 2 . 5
(II)Da fatoração acima, nota-se que √10 não será exata, portanto, uma das forma de se obter o seu valor, sem o auxílio de calculadora, será por meio de tentativas:
-A √10 será um número entre 3 e 4, porque:
√9 = 3 (Afinal, 3.3 = 9.)
√16 = 4 (Afinal, 4.4 = 16.)
-Prosseguindo nas tentativas:
3,5 . 3,5 = 12,25 (Resultado ainda distante de √10. Entretanto, √10 estará entre 3 e 3,5 ou 3 < √10 < 3,5.)
3,2 . 3,2 = 10,24 (Muito próximo de 10, portanto, √10 estará entre 3 e 3,2 ou 3 < √10 < 3,2.)
3,1 . 3,1 = 9,61 (Abaixo de 10, portanto, conclui-se que 3,1 < √10 < 3,2.)
-Em razão de √10 se situar entre dois decimais com um casa após a vírgula, deverá ser adicionada às tentativas outra casa decimal:
3,19 . 3,19 = 10,1761 (Conclusão: 3,1 < √10 < 3,19.)
3,17 . 3,17 = 10,0489 (Conclusão: 3,1 < √10 < 3,17.)
3,16 . 3,16 = 9,9856 ≅ 10 (Na terceira casa decimal há um número maior ou igual a 5, logo aumenta-se o da segunda posição para 9, tornando-se 9,99. Seguindo o mesmo raciocínio, aproxima-se 9,99 para 10.)
Logo, conclui-se que √10 é aproximadamente 3,16.
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2ª FORMA: Aproveitamento da forma fatorada e método das tentativas e erros.
(I)Na fatoração feita acima, verificou-se que √10 pode ser reescrito por meio de números primos, a saber, √2.5.
- A partir disso, aplica-se o método das tentativas à √2 e a √5:
A √2 será um número entre 1 e 2, porque:
√1 = 1 (Afinal, 1.1 = 1.)
√4 = 2 (Afinal, 2.2 = 4.)
-Prosseguindo nas tentativas:
1,5 . 1,5 = 2,25 (Resultado ainda distante de √2. Entretanto, √2 estará entre 1 e 1,5 ou 1 < √2 < 1,5.)
1,4 . 1,4 = 1,96 (Abaixo de 2, portanto, conclui-se que 1,4 < √2 < 1,4.)
-Em razão de √2 se situar entre dois decimais com um casa após a vírgula, deverá ser adicionada às tentativas outra casa decimal:
1,41 . 1,41 = 1,9881 ≅ 2 (Na terceira casa decimal há um número maior ou igual a 5, logo aumenta-se o da segunda posição para 9, tornando-se 1,99. Seguindo o mesmo raciocínio, aproxima-se 1,99 para 2.)
Conclusão: √2 ≅ 1,41
A √5 será um número entre 2 e 3, porque:
√4 = 2 (Afinal, 2.2 = 4, menor que 5.)
√9 = 3 (Afinal, 3.3 = 9, maior que 5.)
-Prosseguindo nas tentativas:
2,5 . 2,5 = 6,25 (Resultado ainda distante de √5. Entretanto, √5 estará entre 2 e 2,5 ou 2 < √5 < 2,5.)
2,2 . 2,2 = 4,84 (Abaixo de 5, portanto, conclui-se que 2,2 < √5 < 2,5.)
-Em razão de √5 se situar entre dois decimais com um casa após a vírgula, deverá ser adicionada às tentativas outra casa decimal:
2,25 . 2,25 = 5,0625
2,24 . 2.24 = 5,0176 ≅ 5 (Admitindo-se um número decimal de apenas uma casa, nota-se que na segunda casa decimal há um número menor que 5, logo mantém-se o da primeira em zero, desprezando-se os demais e resultando em aproximadamente 5,0, que é igual a 5, pois o zero como último algarismo não possui valor.)
Conclusão: √5 ≅ 2,24
(II)Finalmente, encontrados os valores aproximados para √2 e √5, basta multiplicá-los e ter-se-á o valor aproximado de √10:
√10 = √(2.5) = 1,41 . 2,24 = 3,1584 ≅ 3,16 (Normalmente as aproximações são feitas com apenas duas casas decimais, daí o resultado 3,16.)
Resposta: O valor de √10 é aproximadamente 3,16.
Observação: Deve-se sempre escrever a palavra "aproximadamente" antes de valores de raízes não exatas, porque o valor real é infinito e impossível de ser limitado (por ser irracional), ou seja, deles não se pode afirmar uma igualdade.
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!