Respostas
Resposta:
Dada a função real f(x) = -x² + x, calcule: f(x) = 5
Explicação passo-a-passo:
-x² + x = 5
x² - x + 5 = 0
delta
d² = 1 - 20 = -19
d = √19i
x1 = (1 + √19i)/2
x2 = (1 - √19)//2
Vamos lá.
Veja, Tiago, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se: dada a função real f(x) = - x² + x, calcule f(x) = 5.
ii) Note que queremos as raízes da função dada [f(x) = - x² + x] tal que f(x) seja igual a "5". Então, para isso, basta que igualemos f(x) a "5" e passaremos a ter:
5 = - x² + x ----- passando "5" para o 2º membro, ficaremos com:
0 = - x² + x - 5 ----- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
- x² + x - 5 = 0 ------ note que temos aqui uma função do 2º grau, da forma: ax² + bx + c = 0. No caso da sua questão, temos que os coeficientes são estes: a = -1 --- (é o coeficiente de x²); b = 1 --- (é o coeficiente de x); c = -5 --- (é o coeficiente do termo independente).
Agora note isto: no enunciado da questão está afirmado isto: "Dada a função REAL f(x) = - x² + x"... calcule as raízes dessa função tal que f(x) seja igual a "5", ou seja, tal que f(x) = 5.
Note que para f(x) = 5 a função deixa de ser real, ou seja, ela deixará de ter raízes reais para ter apenas raízes complexas, pois o seu delta (b²-4ac) é negativo. Se a questão estiver pedindo as raízes reais da função tal que f(x) = 5, então a resposta será vazia, o que você poderá expressar da seguinte forma:
S = ∅ , ou S = { } . <---- Estas duas formas expressam o conjunto vazio, quando se quer afirmar que determinada equação não tem raízes no âmbito dos números reais.
Contudo, se a questão pede que você encontre as raízes da função originalmente dada [f(x) = - x² + x] tal que f(x) seja igual a "5" [f(x) = 5], quer elas (as raízes) sejam reais, quer elas sejam complexas, então a forma de encontrar as raízes complexas dessa função será aplicar a fórmula de Bhaskara, que é dada assim:
x = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, teremos:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ----- fazendo as devidas substituições, teremos (vide os coeficientes que já vimos antes, que são: a = -1; b = 1; c = -5):
x = [-1 ± √(1² - 4*(-1)*(-5))]/2*(-1) ---- desenvolvendo, temos:
x = [-1 ± √(1 - 20)]/(-2) ----- continuando o desenvolvimento, temos:
x = [-1 ± √(-19)]/-2 ----- note que √(-19) = √(19)*√(-1). Assim teremos:
x = [ -1 ± √(19)*√(-1)]/-2 ---- note que, nos complexos, √(-1) = i. Assim, teremos:
x = [- 1 ± √(19)i]/-2 ----- note que poderemos reescrever assim, o que dá no mesmo:
x = [-1 ± i√(19)]/-2 ------ note que isto é equivalente a (pois o numerador tem um sinal de menos antes do "1" e, no denominador, há um sinal de menos antes do "2"):
x = [1 ± i√(19)]/2 ----- daqui você já conclui que as duas raízes complexas serão estas:
x' = [1 - i√(19)]/2
x'' = [1 + i√(19)]/2.
As duas raízes complexas seriam as que demos aí em cima se a questão estiver pedindo as raízes da equação originalmente dada tal que f(x) = 5, quer elas (as raízes) fossem reais, quer elas fossem complexas.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.