Resolva os sistemas de equações exponenciais.
A) 2^(2x+y) = 4
2^(x-y) = 2^(-1/2)
B) 3^(x+y) = 3^(-2)
7^(2x) : 7^(y) = 1
Respostas
y=1
B) x= (-2/3)
y=(-4/3)
Vamos lá.
Veja, Sabrina, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para resolver os seguintes sistemas de equações exponenciais:
a)
{2²ˣ⁺ˠ = 4
{2ˣ⁻ˠ = 2⁻¹/²
Agora vamos por parte: na primeira expressão, em que temos:
2²ˣ⁺ˠ = 4 ---- note que 4 = 2². Assim, teremos:
2²ˣ+ˠ = 2² ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
2x + y = 2 . (I).
Já na outra expressão, em que temos:
2ˣ⁻ˠ = 2⁻¹/² ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x - y = - 1/2 . (II).
Note que ficamos com o sistema formado pelas expressões (I) e (II), resultante das duas primeiras expressões dadas. Assim, ficamos com o sistema formado por:
2x + y = 2 . (I)
x - y = - 1/2 . (II)
Vamos fazer o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (I) e (II). Fazendo isso, teremos:
2x+y = 2 --- [esta é a expressão (I) normal]
x - y = -1/2 --- [esta é a expressão (II) normal]
--------------------- somando-se membro a membro, teremos:
3x+0 = 3/2 ----- (note que 2-1/2 = 3/2) --- ou apenas:
3x = 3/2 ----- isolando "x", teremos:
x = 3/2*3
x = 3/6 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", ficamos com:
x = 1/2 <--- Este é o valor da incógnita "x".
Agora, para encontrar o valor de "y", vamos em uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "x" por "1/2". Vamos na expressão (II), que é esta:
x - y = -1/2 ---- substituindo-se "x' por "1/2", teremos:
1/2 - y = - 1/2 ----- passando "1/2" para o 2º membro, temos:
- y = -1/2 - 1/2 ----- note que "-1/2 - 1/2 = - 1". Assim, teremos:
- y = - 1 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos com:
y = 1 <--- Este é o valor da incógnita "y".
Assim, resumindo, temos que os valores de "x" e de "y" são:
x = 1/2; y = 1 <--- Esta é a resposta para o item "a". Se você quiser, poderá também apresentar o conjunto-solução {x; y} da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = {1/2; 1}.
b)
{3ˣ⁺ˠ = 3⁻²
{7²ˣ / 7ˠ = 1 .
A exemplo da questão do item "a", vamos também por parte nesta questão do item "b". Vamos trabalhar com a primeira expressão, que é esta:
3ˣ⁺ˠ = 3⁻² ----- como as bases são iguais então poderemos igualar os expoentes. Logo:
x + y = - 2 . (I).
Agora vamos trabalhar com a segunda expressão, que é esta:
7²ˣ / 7ˠ = 1 ----- note que, no 1º membro temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo, ficaremos com:
7²ˣ⁻ˠ = 1 ----- note que o "1" do 2º membro poderá ser substituído por 7⁰ , pois todo número diferente de zero, quando está elevado a zero, sempre é igual a "1". Logo, ficaremos com:
7²ˣ⁻ˠ = 7⁰ ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Logo:
2x - y = 0 . (II).
Agora note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima, resultante das expressões originais do item "b", ou seja, ficamos com:
x + y = - 2 . (I).
2x - y = 0 . (II).
Vamos fazer o seguinte: somaremos, membro a membro, a expressão (I) com a expressão (II). Fazendo isso, teremos:
x + y = -2 --- [esta é a expressão (I) normal]
2x-y = 0 ---- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------ somando-se membro a membro, teremos:
3x + 0 = -2 ---- ou apenas:
3x = -2 ---- isolando "x", temos:
x = -2/3 <--- Este é o valor da incógnita "x".
Agora, para encontrar o valor de "y" vamos em uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "x' por "-2/3". Vamos na expressão (I), que é esta:
x + y = - 2 ---- substituindo "x" por "-2/3", teremos:
-2/3 + y = - 2 ---- passando "-2/3" para o 2º membro, temos:
y = - 2 + 2/3 ----- note que "-2 + 2/3 = -4/3". Logo:
y = -4/3 <--- Este é o valor da incógnita "y".
Assim, resumindo, temos que:
x = -2/3; y = -4/3 <--- Esta é a resposta para o item "b". Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y} da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = {-2/3; -4/3}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.