Question

Certa substância se decompõe segundo a lei m(t)= k×2^(-0,5t), em que "k" é uma constante, t indica o tempo em minuto e "m(t)" é a massa da substância em grama.

a) Sabendo que no instante inicial (t=0) há 2048 gramas, qual é o valor de "k"?

b) A massa dessa substância decai para 512 gramas após quantos minutos?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Sabrina, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que: certa substância se decompõe segundo a seguinte lei:

m(t) = k*2^(-0,5t) , em que "k" é uma constante, "t" indica o tempo, em minutos", e m(t) é a massa da substância, em gramas.

Com base nisso, são feitas as propostas as seguintes questões:

a) Sabendo que no instante inicial (t = 0) há 2.048 gramas, qual é o valor de "k"?

Veja: vamos na expressão dada [m(t) = k*2^(-0,5t)] e substituiremos "m(t)" por "2.048" e substituiremos "t" por "0". Fazendo isso, teremos:

2.048 = k*2^(-0,5*0) ----- como "-0,5*0 = 0", teremos:

2.048 = k*2⁰ ---- e como "2⁰ = 1", teremos:

2.048 = k*1 ----- ou apenas

2.048 = k ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

k = 2.048 <---- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, este é o valor da constante "k" pedido.

b) A massa dessa substância decai para 512 gramas após quantos minutos?

Veja: para isso, basta irmos na expressão dada e substituirmos "m(t)" por 512 e substituirmos o "k" por "2.048", pois já vimos que a constante "k" tem esse valor. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

512 = 2.048*2^(-0,5t) ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:

2.048*2^(-0,5t) = 512 ---- isolando "2^(-0,5t)", teremos:

2^(-0,5t) = 512/2.048 ----- simplificando-se numerador e denominador por "512", iremos ficar apenas com:

2^(-0,5t) = 1/4 ------ note que 1/4 = 1/2², o que equivale a 2⁻². Assim, temos:

2^(-0,5t) = 2⁻² ------ como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Logo, teremos que:

-0,5t = - 2 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos:

0,5t = 2 ---- isolando "t", teremos:

t = 2/0,5 ----- note que "2/0,5 = 4". Logo:

t = 4 minutos <--- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja, este é o tempo, em minutos, que passou para que a massa decaísse para 512 gramas.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.