Matéria: Matemática
Autor: jpprintes
Perguntado 7 anos atrás

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Considere a função z = f(x,y) = x^2+3xy^2 – 2y^3x^3. Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto P (1,2,-3).

A) Z+34x+12y+55=0
B) Z+34y+12x=55
C) Z-34x-12y=55
D) Z+34x+12y=55

Respostas

respondido por: DuarteME

Resposta:

A resposta correta é a D).

Explicação passo-a-passo:

Seja $f$ a função definida por $f(x,y) = x^2+3xy^2- 2y^3x^3$ . A equação da superfície pode ser escrita na forma:

$z = f(x,y) \iff z - f(x,y) = 0,$

pelo que podemos definir

$h(x,y,z) = z- f(x,y,z),$

de forma a que a superfície seja descrita por:

$h(x,y,z) = 0.$

O gradiente de $h$ é:

$\displaystyle \vec{\nabla}h(x,y,z) =\left(\dfrac{\partial h}{\partial x}, \dfrac{\partial h}{\partial y}, \dfrac{\partial h}{\partial z}\right) = \left(-2x-6xy+6y^3x^2, -6xy+6y^2x^3,1\right).$

Calculando no ponto $P=(1,2,-3)$ , tem-se:

$\displaystyle \vec{\nabla}h(1,2,-3) =\left(-2\times 1-6\times 1 \times 2+6\times 2^3 \times 1^2, -6\times 1 \times 2+6\times 2^2\times 1^3,1\right) =\\= (-2-12+48,-12+24,1) = (34,12,1).$

Uma vez que o gradiente é normal à superfície em cada ponto, o plano tangente tem equação da forma:

$34x+12y+z+d=0.$

Uma vez que $P$ pertence ao plano, deve verificar a sua equação:

$34 \times 1 + 12 \times 2 - 3 + d = 0 \iff 34 + 24 - 3 + d = 0 \iff 55 + d = 0 \iff d = -55.$

Pelo que a equação do plano é:

$34x + 12y + z - 55 = 0 \iff z + 34x + 12y = 55.$

Resposta: D)

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à superfície pelo referido ponto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 34x + 12y + z = 55\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Portanto, a opção correta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra \:D\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} s: z = f(x, y) = x^{2} + 3xy^{2} - 2y^{3}x^{3}\\P = (1, 2, -3)\end{cases}$

Organizando os dados temos:

$\Large\begin{cases} s: x^{2} + 3xy^{2} - 2y^{3}x^{3} - z = 0\\P = (1, 2, -3)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma superfície devemos ter um ponto "P" pertencente à superfície e um vetor normal "n" passando pelo ponto "P", ou seja, precisamos de:

$\Large\begin{cases} P(X_{P},\,Y_{P},\,Z_{P})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n},\,Y_{n},\,Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$}$

OBS: Todas as vezes que me referir à função "f" estarei me referindo à função que deu origem à superfície "s".

Para determinar o plano, devemos:

Calcular a derivada parcial de "f" em termos de "x".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{df}{dx} = 2\cdot x^{2 - 1} + 3\cdot 1\cdot x^{1 - 1}\cdot y^{2} - 2\cdot y^{3}\cdot3\cdot x^{2 - 1} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2x + 3y^{2} - 6y^{3}x^{2}\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "y".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{df}{dy} = 3\cdot x\cdot 2\cdot y^{2 - 1} - 2\cdot3\cdot y^{3 - 1}\cdot x^{3} = 6xy - 6y^{2}x^{3}\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "z".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{df}{dz} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\end{gathered}$}$

Montar o vetor gradiente.

Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = (2x + 3y^{2} - 6y^{3}x^{2},\,6xy - 6y^{2}x^{3},\,-1)\end{gathered}$}$

Montar o vetor normal pelo ponto "P".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{P},\,\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{P},\,\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{P}\Bigg)\end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{n_{\pi}} = (2\cdot1 + 3\cdot2^{2} - 6\cdot2^{3}\cdot1^{2},\,6\cdot1\cdot2 - 6\cdot2^{2}\cdot1^{3},\,-1)\end{gathered}$}$