(UNICAMP) Nas cenas dos filmes e nas ilustrações gráficas do Homem-aranha, a espessura do cabo de teia de aranha que seria necessário para sustentá-lo é normalmente exagerada. De fato, os fios de seda da teia de aranha são materiais extremamente resistentes e elásticos. Para deformações L relativamente pequenas, um cabo feito de teia de aranha pode ser aproximado por uma mola de constante elástica k dada pela fórmula k = (10^10 A/L) N/m, onde L é o comprimento inicial e A é a área da seção transversal do cabo. Para os cálculos abaixo, considere a massa do Homem-Aranha M = 70 kg.
Suponha que o Homem-aranha, em queda livre, lance verticalmente um cabo de fios de teia de aranha para interromper a sua queda. Como ilustra a figura (2a), no momento em que o cabo se prende, a velocidade de queda do Homem-aranha tem módulo V(0) . No ponto de altura mínima mostrado em (2b), o cabo de teia atinge uma deformação máxima de ∆L = 2,0 m e o Homem-aranha tem, nesse instante, velocidade v = 0. Sendo a constante elástica do cabo de teia de aranha, neste caso, k = 7700 N/m, calcule V(0) .
Gabarito: 20 m/s
Obrigada desde já!
Respostas
Muito boa questão! De fato, tentar deduzir a velocidade a partir das equações do movimento não seria fácil. A primeira coisa que pensamos aqui é que a medida que o homem-aranha desce a teia estica e exerce cada vez mais força no sentido oposto ao do movimento.
Acontece que a força aumenta a medida que aumenta a elongação da teia, de forma que a força e, por consequência, a aceleração não é constante. Usando cálculo diferencial e integral é possível chegar ao resultado correto. No entanto, o conhecimento de cálculo diferencial não é comumente cobrado em exames vestibulares (nem ensinado no ensino médio)
Resta então usar o caminho da energia para solucionar o problema. Vamos nessa!
Pela conservação de energia a energia do Aranha no momento 2a (quando a teia se prende no teto) deve ser igual à energia no momento em que 2b (quando a velocidade é nula)
No momento (2a) temos:
Energia potencial gravitacional = mgh
Energia potencial elástica = [k (ΔL)²] / 2 = 0 (a teia não está se esticando ainda, ΔL = 0)
Energia cinética = [m (V₀)²] / 2
Portanto a energia total é E₂ₐ = mgh + [m (V₀)²] / 2
No momento (2b) temos:
Energia potencial gravitacional = 0 (defini a referência no ponto 2b, entenda que em 2b, h = 0)
Energia potencial elástica = [k (ΔL)²] / 2
Energia cinética = [m (V₁)²] / 2 = 0 (Velocidade final V₁ = 0)
Portanto a energia total é E₂ᵇ = [k (ΔL)²] / 2
Fazendo agora E₂ₐ = E₂ᵇ
mgh + [m (V₀)²] / 2 = [k (ΔL)²] / 2
70.10.2 + 70 V₀²/2 = 7700. 2²/2
700.4 + 70 V₀² = 7700.4
70 V₀² = 4 (7700-700) = 4. 7000
V₀² = 4 . 100 = 400
V₀ = √400 = 20 m/s
V₀ = 20 m/s