Question

QUESTÃO DE CONCURSO. POR FAVOR AJUDEM NESSA. DESDE JÁ GRATO.

Answer 1

Vamos lá...

"ALTERNATIVA C".

Nomenclaturas:

A = arco.
a = angulo.
ca = cateto adjacente.
co = cateto oposto.
hip = hipotenusa.

Pergunta:

Uma lanterna é a um ponto P de uma circunferência. Ela produz um feixe de luz que tem o formato da figura 1, onde O é o centro da circunferência.

Aplicação:

Observe, que o exercício nos apresenta o valor correspondente do arco formado entre as distâncias PB e PM.

Com isso, devemos nos lembrar que o ângulo menor é duas vezes menor que o arco formado, por isso, torna-se possível afirmar que o ângulo formado no triângulo retângulo equivale a 30°, veja:

$A = 2 \times a. \\ 60 = 2 \times a. \\ \\ a = \frac{60}{2} \\ \\ a = 30 \: graus.$

Por fim, perceba que temos o valor do ângulo correspondente do triângulo retângulo e a distância dos pontos PM, portanto, podemos utilizar as relações trigonométricas do cosseno, pois o mesmo equivale ao cateto adjacente (4 metros) pela hipotenusa (PB), assim:

$PB = hip. \\ \\ \cos = ( \frac{ca}{hip} ) \\ \\ \cos30 = ( \frac{4}{hip} ) \\ \\ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{4}{hip} \\ \\ hip \times \sqrt{3} = 8 \\ \\ hip = \frac{8}{ \sqrt{3} } < - racionalizando. \\ \\ hip = \frac{8 \times ( \sqrt{3}) }{ \sqrt{3} \times ( \sqrt{3)} } \\ \\ hip = \frac{8 \sqrt{3} }{ \sqrt{3 \times 3} } \\ \\ hip = \frac{8 \sqrt{3} }{3}metros < - - resposta.$

Portanto, a distância PB, equivale a alternativa C. Em caso de dúvidas, comente.

Espero ter ajudado!