Question

25 obtenha o vértice de cada uma das parábolas representativas das funções quadráticas

26 Qual e o valor mínimo (ou máximo) assumido por cada uma das funções quadráticas dadas pelas leis abaixo ?

27 qual é o conjunto imagem de cada uma das funções quadráticas dadas pelas leis abaixo ?

Answer 1

25. O vértice de parábolas são pontos cujas coordenadas são definidas por

$V = (\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})$

Onde a, b e Δ são os mesmo utilizados na fórmula de resolução de equação de segundo grau.

Aplicando:

a) x² - 6x + 4  => Δ = (-6)² - 4*1*4 = 36 - 16 = 20

$V = (\frac{-(-6)}{2*1}, \frac{-20}{4*1})$

$V = (\frac{6}{2}, \frac{-20}{4})$

$V = (3, -5)$

b) -2x² - x + 3  => Δ = (-1)² - 4*(-2)*3 = 1 + 25 = 25

$V = (\frac{-(-1)}{2*(-2)}, \frac{-25}{4*(-2)})$

$V = (\frac{1}{-4}, \frac{-25}{-8})$

$V = (-0,25; 3,125)$

c) x²- 9  => Δ = 0² - 4*1*(-9) = 36

$V = (\frac{0}{2*1}, \frac{-36}{4*1})$

$V = (0, \frac{-36}{4})$

$V = (0, -9)$

26. Aqui ele só pede o valor em y do vértice, ou seja:

$y_v=\frac{-\Delta}{4a}$

Aplicando:

a) -2x² + 60x   => Δ = (60)² - 4*-2*0 = 3600

$y_v=\frac{-3600}{4*(-2)}$

$y_v=\frac{-3600}{-8}$

$y_v=450$

b) x² - 4x + 8  => Δ = (-4)² - 4*1*8 = 16 - 32 = -16

$y_v=\frac{-(-16)}{4*1}$

$y_v=\frac{16}{4}$

$y_v=4$

c) -x² + 2x - 5  => Δ = (2)² - 4*(-1)*(-5) = 4 - 20 = -16

$y_v=\frac{-(-16)}{4*-1}$

$y_v=\frac{16}{-4}$

$y_v=-4$

d) 3x² + 2  => Δ = (0)² - 4*3*2 = -24

$y_v=\frac{-(-24)}{4*3}$

$y_v=\frac{24}{12}$

$y_v=2$

27. O conjunto imagem vai de menos ou mais infinito até o y do vértice:

a) $y_v = -2$

Concavidade para cima, portanto

I = [-2, +∞)

b) $y_v = 5$

Concavidade para baixo, portanto

I = (-∞, 5]

c) $y_v = 2,25$

Concavidade para baixo, portanto

I = (-∞ , 2,25]

d) $y_v = -2,25$

Concavidade para cima, portanto

I = [-2,25, +∞ )

Answer 2

25) O vértice é dado pelo ponto (xv, yv), sendo que xv = -b/(2*a) e yv = -Δ/(4*a)

a) xv = -(-6)/(2*1) ⇒ xv = 3

  yv = -((-6)² - 4*1*4)/(4*1) ⇒ yv = -20/4 ⇒ yv = -5

vértice = (3; -5)

b) xv = -(-1)/(2*(-2)) ⇒ xv = -1/4

   yv = -((-1)² - 4*(-2)*3)/(4*(-2)) ⇒ yv = -25/(-8) ⇒ yv = 25/8

vértice = (-1/4; 25/8)

c) xv = -0/2 ⇒ xv = 0

  yv = -((-0)² - 4*1*(-9))/(4*1) ⇒ yv = -36/4 ⇒ yv = -9

vértice = (0; -9)

26) Os valores mínimos (quando a>0) ou máximos (quando a<0) também correspondem ao vértice da função, dado pelos pontos xv e yv:

a) xv = -(60)/(2*(-2)) ⇒ xv = 15

   yv = -(60² - 4*(-2)*0)/(4*(-2)) ⇒ yv = -360/(-8) ⇒ yv = 45

Ponto máximo = (15; 45)

b) xv = -(-4)/(2*1) ⇒ xv = 2

   yv = -((-4)² - 4*1*8)/(4*1) ⇒ yv = 32/4 ⇒ yv = 8

Ponto mínimo = (2; 8)

c) xv = -2/(2*(-1)) ⇒ xv = 1

   yv = -(2² - 4*(-1)*(-5))/(4*(-1)) ⇒ yv = 16/(-4) ⇒ yv = -4

Ponto máximo = (1; -4)

d) xv = -0/(2*3) ⇒ xv = 0

  yv = -(0² - 4*3*2)/(4*3) ⇒ yv = 24/12 ⇒ yv = 2

Ponto mínimo = (0; 2)

27) O conjunto imagem (Im) de uma função quadrática é dado pela seguinte forma:

se a > 0, Im > yv

se a < 0, Im < yv

a) O "a" vale 1, logo, como 1 > 0; temos que Im > yv ⇒ Im > -(0² - 4*1*(-2))/(4*1) ⇒ Im > -8/4 ⇒ Im > -2

b) O "a" vale -1, logo, como -1 < 0; temos que Im < yv ⇒ Im < -(0² - 4*(-1)*5)/(4*(-1)) ⇒ Im < -20/-4 ⇒ Im < 5

c) Desenvolvendo a expressão, chegamos à seguinte fórmula: y = -x² + x +2. O "a" vale -1, logo, como -1 < 0; temos que Im < yv ⇒ Im < -(1² - 4*(-1)*2)/(4*(-1)) ⇒ Im < -9/-4 ⇒ Im < 9/4

d) Desenvolvendo a expressão, chegamos à seguinte fórmula: y = x² + 3x. O "a" vale 1, logo, como 1 > 0; temos que Im > yv  ⇒ Im > -(3² - 4*1*0)/(4*1) ⇒ Im > -9/4