• Matéria: Matemática
  • Autor: tcctcc
  • Perguntado 7 anos atrás

Quais são as coordenadas do vértice de uma função de segundo grau?

Respostas

respondido por: Couldnt
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Resposta:

x = -b/2a

y = -Δ/4a

Resolução Passo-a-Passo:

Vamos achar essa fórmula juntos (iey!).

Considere f(x) = ax² + bx + c.

Uma função de segundo grau é simétrica com o eixo de simetria no seu vértice (veja a imagem, toda a função que está ao lado direito da reta azul tem valor idêntico à função do lado esquerdo.)

Com essa observação, se pegarmos dois valores em x que têm o mesmo valor de f(x), a média entre eles será o x do vértice (isso que define algo ser simétrico, aliás). Pegaremos dois valores de x bem conhecidos, as raízes da função, x_1 \: e \: x_2.


x_v = \frac{x_1+x_2}{2}

No entanto, o valor x_1+x_2 é uma relação de girard encontrada na soma e produto:

x_1+x_2 = \frac{-b}{a}


Substituindo:

x_v = \frac{x_1+x_2}{2}

x_v = \frac{-b}{2a}


Encontramos a coordenada x do vértice de uma função baseada em seus coeficientes b e a.


Para encontrar o y, basta substituir y_v = f(x_v)

f(x_v) = ax_v^2+bx_v+c

y_v = a*(\frac{-b}{2a})^2+b*(\frac{-b}{2a}) + c

y_v = \frac{a*b^2}{4a^2}+\frac{-b^2}{2a} + c

Deixando todos os denominadores iguais a 4a²:

y_v = \frac{a*b^2}{4a^2}+\frac{-b^2*2a}{2a*2a} + \frac{c*4a^2}{4a^2}

y_v = \frac{a*b^2-2a*b^2+4a^2*c}{4a^2}

y_v = \frac{-a*b^2+4a^2*c}{4a^2}

Cortando a de cima de baixo:

y_v = \frac{-*b^2+4a*c}{4a}

Perceba que, de bhaskara, \Delta = b^2-4ac, o que vemos na fórmula portanto é -Δ = -b² + 4ac

y_v = \frac{-\Delta}{4a}

Terminando a demonstração, as coordenadas x e y do vértice são:

x = -b/2a

y = -Δ/4a


V = (\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})

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