Question

Na figura, [ABC] é um triângulo retângulo em A em que D pertence a [AB], CD é a bissetriz do ângulo ACB, AB= 4cm e BC= 5cm.
Sabendo que os segmentos que a bissetriz de um ângulo estabelece no lado oposto estão na mesma razão, respetivamente, dos outros dois lados do triângulo que os intersetam, determina:
-AB
-AD

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

    Para determinar AB basta utilizar o teorema de Pitágoras:

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

    $5^{2}=4^{2}+(AB)^{2}$

    $25=16+(AB)^{2}$

    $25-16=(AB)^{2}$

    $9=(AB)^{2}$

    $\sqrt{9}=AB$

    $3=AB$

    ou

    $AB=3$

    Sabemos também que AD e DB estão na mesma proporção dos lados que medem 4 e 5, portanto:

    $\frac{AD}{DB}=\frac{4}{5}$

    E que a soma desses segmentos é igual a 3, então:

    $AD+DB=3$

    Assim nós podemos montar um sistema linear para determinar o valor de AD.

    $\frac{AD}{DB}=\frac{4}{5}$

    $AD+DB=3$

    ---------------------------------------------

    $5(AD)=4(DB)$

    $AD+DB=3$

    Isolando DB na primeira equação teremos:

    $5(AD)=4(DB)$

    $\frac{5AD}{4}=DB$

    Podemos agora substituir DB na segunda equação para determinar o valor de AD.

    $AD+DB=3$

    $AD+\frac{5AD}{4}=DB$

    $\frac{4(AD)+5(AD)}{4}=3$

    $4(AD)+5(AD)=3*4$

    $9(AD)=12$

    $AD=\frac{12}{9}$

    $AD=\frac{12:3}{9:3}$

    $AD=\frac{4}{3}$