Question

A Matriz de Vandermonde tem por característica uma fila composta de numero 1 e as demais respeitam uma lei de formação , que é uma progressão geométrica, como se pode observar a seguir:


A de terminante desta matriz pode ser obtida por:

a) (a-b) (a-c) (c-b)

b) bc²- a²b

c) (a+b+c) ²

d) (a+b)² (b-c)²

e) (a²+b²+c²) ²

Answer 1

Resposta:

Letra A

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá:

Primeiro vamos calcular o determinante da matriz fazendo uso da regra de SARRUS, para isto, basta repetir as duas primeiras colunas, daí temos:

$det\left[\begin{array}{ccccc}1&a&a^{2}&1&a\\1&b&b^{2}&1&b\\1&c&c^{2}&1&c\end{array}\right]$

Multiplicando as diagonais, temos que:

$det\left[\begin{array}{ccccc}1&a&a^{2}&1&a\\1&b&b^{2}&1&b\\1&c&c^{2}&1&c\end{array}\right]=b.c^{2} + a.b^{2} + c.a^{2} - b.a^{2} - c.b^{2} - a.c^{2}$

Agrupando os termos:

$c.a^{2} - b.a^{2} =a^{2}(c-b)\\b.c^{2} - c.b^{2} = cb(c-b)\\ a.b^{2} - a.c^{2} = -a(c^{2}-b^{2})=-a(c-b)(c+b)$

Colocando $c-b$ em evidência, temos:

$c.a^{2} - b.a^{2}+b.c^{2} - c.b^{2} +a.b^{2} - a.c^{2} =a^{2}(c-b) + cb(c-b) - a(c-b)(c+b) = (c-b) (a^{2}+cb - a(c+b) ) = (c-b)(a^{2}+cb-ac-ab)=(c-b)(a^{2}-ab-ac+cb)=(c-b)(a(a-b)-c(a-b))=(c-b)(a-b)(a-c)$

Logo a resposta correta é a letra A

Espero ter ajudado!!!