Question

calcule o seguinte limite:

$\lim_{x \to \pi/2 } \frac{cosx}{2x-\pi }$

Answer 1

Resposta:

$\frac{1}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos reescrever o limite:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cos x}{2x-\pi}$

Se substituirmos x por pi/2, verificamos que o limite é do tipo 0/0, ou seja, é indeterminado.

Dessa forma, precisamos de alguma maneira sair da indeterminação, assim sendo, multiplicaremos em cima e em baixo por sen (2x-pi), daí:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cos x}{2x-\pi}.\frac{sen(2x-\pi)}{sen(2x-\pi)} =\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{sen(2x-\pi)}{2x-\pi}.\frac{cosx}{sen(2x-\pi)}$

Para  o primeiro limite, fazemos u = 2x - pi, daí quando x->pi/2 temos que u-> 0, daí:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{sen(2x-\pi)}{2x-\pi}=\lim_{u \to\ 0 } \frac{sen(u)}{u}=1$ (limite fundamental da trigonometria)

Para o segundo limite temos, que sen(2x-pi) = sen 2x, daí

$\lim_{x \to\ \frac{\pi}{2} } \frac{cosx}{sen(2x-\pi)} = \lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cosx}{sen(2x)}=\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cosx}{2.senx.cosx}=\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{1}{2.senx}=\frac{1}{2.1} =\frac{1}{2}$

Sendo assim, o limite fica igual a:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cos x}{2x-\pi}.\frac{sen(2x-\pi)}{sen(2x-\pi)} =\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{sen(2x-\pi)}{2x-\pi}.\frac{cosx}{sen(2x-\pi)}=1.\frac{1}{2 } =\frac{1}{2 }$

Bons estudos!!!