Question

alguem pode me ajudar com essa questão? vejam a imagem.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Dada a identidade trigonométrica, dada por:

$tg^{2} b + 1 = sec^{2} b$ para qualquer b que atenda tg e sec.

Dessa forma, temos que é válido:

$tg ^{2} \frac{x}{2} + 1 = sec ^{2}\frac{x}{2}\\\\a ^{2} + 1 = \frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}\\\\\boxed{cos^{2}\frac{x}{2} = \frac{1}{a ^{2} + 1}}$

Mas da identidade fundamental:

$sen^{2} b + cos^2{b} = 1$, podemos escrever:

$sen^{2}\frac{x}{2}+cos^{2}\frac{x}{2}=1\\\\sen^{2}\frac{x}{2}=1-cos^{2}\frac{x}{2}=1-\frac{1}{a^{2}+1}= \frac{a^{2}+1-1}{a^{2}+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}+1}\\\\\boxed{sen^{2}\frac{x}{2}=\frac{a^{2}}{a^{2}+1}}$

Mas temos também que:

$cos x = cos (\frac{x}{2} +\frac{x}{2} )=cos^{2}\frac{x}{2} - sen^{2}\frac{x}{2}\\\\cos x=\frac{1}{a ^{2} + 1}} - \frac{a^{2}}{a^{2}+1} =\frac{1 -a^{2}}{a^{2}+1}=\frac{1 -a^{2}}{1+a^{2}}\\\\\boxed{cos x =\frac{1 -a^{2}}{1+a^{2}}}}$

Outra forma:

No estudo da trigonometria temos que:

$cos x = \frac{1 - tg^{2} \frac{x}{2} }{1 + tg^{2} \frac{x}{2}}$

substituindo o valor da tangente, temos:

$cos x = \frac{1 - tg^{2} \frac{x}{2} }{1 + tg^{2} \frac{x}{2}} \\\\cos x = \frac{1 - a{2}}{1 + a^{2}}$

Bons estudos!!!