Qual o setimo termo da pg (-3,6...) ?

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Boa tarde! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.G. (-3, 6, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -3

b)oitavo termo (a₇): ?

c)número de termos (n): 7 (Justificativa: Embora a P.G seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta P.G infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 7º), equivalente ao número de termos.)

d)trata-se de uma P.G oscilante, ou seja, que apresenta termos sucessivos com sinais diferentes. (Explicação: foi afirmado que se tratava de uma P.G oscilante em virtude de a razão (q) necessariamente ser negativa para se obter um segundo termo positivo. Afinal, pelas regras de sinais da multiplicação, dois sinais iguais resultam sempre em um número positivo. Assim, na P.G em análise, (-3)(-q)=6.)

e)em decorrência ao afirmado no item anterior, constata-se que todo termo de ordem ímpar, ou seja, que estiver em uma posição ímpar (1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª etc) será negativo, ao passo que todo termo de ordem par (2ª, 4ª, 6ª, 8ª etc) será positivo. Desse modo, o sétimo termo, embora desconhecido, é de ordem ímpar e, necessariamente, será negativo.

(II)Determinação da razão (q) da progressão geométrica:

Observação: A razão (q), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da divisão entre um termo e seu antecessor imediato.

q = a₂ / a₁ =>

q = 6 / -3 (Regra de sinais da divisão: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)

q = -2

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.G, para obter-se o sétimo termo:

an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₇ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₇ = (-3) . (-2)⁷⁻¹ =>

a₇ = (-3) . (-2)⁶ (Da regra de sinais da multiplicação, afirma-se que qualquer base negativa elevada a expoente par resultará necessariamente em um valor positivo.)

a₇ = (-3) . (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2) (Note, com mais clareza a aplicação da informação indicada acima.)

a₇ = (-3) . (64) (Regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)

a₇ = -192

Resposta: O sétimo termo da PG(-3, 6, ...) é -192.

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

1ª FORMA: -Substituindo a₇ = -192 na fórmula do termo geral da PG, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:

an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

a₇ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>

-192 = (-3) . (-2)⁷⁻¹ =>

-192 = (-3) . (-2)⁶ =>

-192 = (-3) . (64) (Regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)

2ª FORMA: Cálculo de termo a termo, sabendo-se que a₁=(-3) e q=(-2):

a₁ = -3

a₂ = -3 . (-2) = 6

a₃ = -3 . (-2) . (-2) = -12

a₄ = -3 . (-2) . (-2) . (-2) = 24

a₅ = -3 . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -48

a₆ = -3 . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = 96