Question

Considere os pontos z1, z2 e z3 indicados no plano complexo abaixo, e que correspondem às raízes cúbicas de 1.




Desta forma calcule (z3)^100.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Primeiro temos que lembrar que para calcular potência de números complexos com expoentes elevados, devemos recorrer a 1ª FÓRMULA DE MOIVRE, ou seja,

$z^{n}=|z|^{n}(cos (n\theta) +i sen (n\theta))$

Temos que:

$z_{3} = -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2}i$, logo

$|z| = \sqrt{(-\frac{1}{2} )^{2}+(-\frac{\sqrt{3} }{2} )^{2}} =\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{3}{4}}}= \sqrt{1} =1$

Para calcularmos o argumento $\theta$, temos que considerar que:

$cos \theta = -\frac{1}{2}\\ sen \theta = -\frac{\sqrt{3} }{2}$

O seno e o cosseno é negativo no 3º quadrante, logo esse ângulo é igual a  $\frac{4\pi }{3}$.

Daí pela  1ª FÓRMULA DE MOIVRE, temos:

$z_{3}^{100}=1^{100}(cos (100.\frac{4\pi}{3} ) +i sen (100.\frac{4\pi}{3}))\\\\z_{3}^{100}=1.(cos (100.\frac{4\pi}{3} ) +i sen (100.\frac{4\pi}{3}))$

Mas temos que:

$100.\frac{4\pi}{3} = \frac{400\pi }{3} = \frac{399\pi }{3}+ \frac{\pi }{3}=133\pi + \frac{\pi }{3}=132\pi +\pi + \frac{\pi }{3}=66.(2\pi) + \frac{4\pi }{3}= \frac{4\pi}{3}$

Daí, temos que:

$z_{3}^{100}=1.(cos (\frac{4\pi}{3} ) +i sen (\frac{4\pi}{3}))\\\\z_{3}^{100}=-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} i = z_{3}$

Bons estudos!!!!