Question

O valor, em graus, do menor ângulo positivo x que satisfaz à equação 8senx. Cos5x - 8sen^5 x cosx =1 é igual a:

A)7,5
B)15
C)22,5
D)30
E)45

Answer 1

colocando 8 em evidência
8(senx.cos^5x-sen^5x.cosx)=1
fazendo uma substituição para fins de facilitar a escrita

senx=p
cosx=q

p.q^5-p^5.q=1/8
pq(q^4-p^4)=1/8

pq(cos⁴x-sen⁴x)=1/8
mas sabemos que

cos²x-sen²x=Cos (2x)
então por produtos notáveis teríamos
cos⁴x-sen⁴x=(cos²x+sen²x)(cos²x-sen²x)
=Cos(2x)
cos²x+sen²x=1 (identidade trigonométrica)
cosx.senx=sen(2x)/2

substituindo de volta

sen(2x)/2.cos(2x)=1/8
sen(2x)/2=senxcosx

senx.cosx.cos(2x)=1/8

sen²x+cos²x=1
sen²x=1-cos²x
senx=√1-cos²x
estou considerando somente positivo pois
pede o ângulo
(√1-cos²x).cosx.cos(2x)=1/8
para eliminar a raiz, elevamos ambos os
membros ao quadrado

[(√1-cos²x).cosx.cos(2x)]²=(1/8)²
(1-cos²x).cos²x.cos²(2x)=1/16
(cos²x-cos⁴x).cos²(2x)=1/16
cos⁴x=Cos(2x)+sen⁴x
=Cos(2x)+(√1-cos²x)⁴
=Cos(2x)+(1-cosx)²
=Cos(2x)+1-2cosx+cos²x
(cos²x-[Cos(2x)+1-2cosx+cos²x]).cos²(2x)=1/16
(cos²x-cos(2x)-1+2cosx-cos²x). cos²(2x)=1/6
cos²(2x)[2cosx-cos(2x)-1]=1/16
Cos(2x)=cos²x-sen²x

cos²(2x)[2cosx-(cos²x-sen²x)-1]=1/16
cos²(2x)[2cosx+sen²x-cos²x-(sen²x+cos²x)]=1/16
cos²(2x)[2cosx-2cos²x]=1/16
2cos²(2x)[cosx-cos²x]=1/16
aqui podemos testar duas possibilidades: o primeiro termo igual a 1/16 e o segundo igual a 1 e o contrário também

primeiro caso:
2cos²(2x)=1/16
-cos²x+cosx=1
cosx=m

-m²+m=1
-m²+m-1=0
m=-1+√-3/2
como o resultado dará imaginário, não serve.
portanto

Segundo caso:
2cos²(2x)=1
-cos²x+cosx=1/16

cos²(2x)=1/2
Cos(2x)=√2/2
supondo que 2x=y
Cos(y)=√2/2
o ângulo notavel no qual se chega a esse resultado é y=45°

2x=45
x=45/2
x=22,5

Resposta: \.:{x=22,5°; Alternativa C}:./
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