Question

Determine os valores de a e b que satisfaçam as seguintes igualdades independente do valor de x:
$( - 2x + a)( - 4x + b) = 8 {x}^{2} - 18x + 9$

Answer 1

Resposta:

$\{(\frac{3}{2},6), (3,3)\}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Determine os valores de a e b que satisfaçam as seguintes igualdades independente do valor de x:

$( - 2x + a)( - 4x + b) = 8 {x}^{2} - 18x + 9\\\\8x^2 -2bx -4ax+ab = 8 {x}^{2} - 18x + 9\\\\8x^2 + (-2b-4a)x +ab =8 {x}^{2} - 18x + 9$

Como os polinômios são iguais, temos que:

$-2b - 4a = -18\\ab = 9$

Devemos resolver o sistema. Da Primeira equação temos,

$-2b - 4a = -18\\2b + 4a = 18\\2b = 18 - 4a\\b = 9 - 2a$

Vamos substituir esse resultado na segunda equação, daí:

$ab = 9\\a(9 - 2a) = 9 \\9a - 2a^2 = 9\\2a^2 -9a+9=0$

Resolvendo esta equação para "a", temos:

$a = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2.a}= \frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4.2.9} }{2.2}= \frac{9\pm\sqrt{9} }{4}\\\\a_1=\frac{9-3}{4}=\frac{6}{4} =\frac{3}{2} \\\\a_2=\frac{9+3}{4}=\frac{12}{4} =3$

Daí, para $a_1 =\frac{3}{2}$, temos:

$b = 9 - 2a=9-2\frac{3}{2} =9-3=6$

E para $a_2 =3$, temos:

$b = 9 - 2a = 9-2.3=9-6=3$

temos então duas soluções:

$\{(\frac{3}{2},6), (3,3)\}$

Bons estudos!!!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dhyka, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: determine os valores de "a" e "b" que satisfaçam as seguintes igualdades, independentemente do valor de "x".

(-2x+a)*(-4x+b) = 8x² - 18x + 9 ----- aplicando, no 1º membro,  a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

(-2x)*(-4x) + (-2x)*b + a*(-4x) + a*b = 8x² - 18x + 9 ---- efetuando os produtos indicados no 1º membro, teremos:

8x² - 2bx - 4ax + ab = 8x² - 18x + 9 ---- note que nos fatores (-2bx-4ax) vamos colocar "x" em evidência e ficaremos assim:

8x² - (2b+4a)x + ab = 8x² - 18x + 9

Agora veja: como as duas expressões acima são iguais, então vamos comparar os coeficientes do 1º membro com os coeficientes do 2º membro, ou seja, compararemos o coeficiente de "x²" do primeiro membro, com o coeficiente de x² do 2º membro; o mesmo faremos com o coeficiente de "x' do primeiro membro com o coeficiente de "x" do 2º membro; e finalmente o termo indendente do 1º membro com o termo independente do 2º membro. Então, fazendo isso, teremos que:

i.1) Comparando os coeficientes de x² de cada membro:

8 = 8 ------> o que é óbvio;

i.2) Comparando os coeficientes de x de cada membro:

- (2b+4a) = - 18 ----- note que poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:

(2b+4a) = 18 ---- finalmente, retirando-se os parênteses, teremos:

2b + 4a = 18      . (I).

i.3) Comparando os termos independentes de cada membro, temos:

ab = 9     . (II).

ii) Agora vamos trabalhar com o sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima, que são estas:

{2b + 4a = 18     . (I)

{ab = 9      . (II).

ii.1) Inicialmente vamos trabalhar com a expressão (I), que é esta:

2b + 4a = 18 ---- simplificando-se ambos os membros por "2", iremos ficar apenas com:

b + 2a = 9 ------- isolando "b", teremos:

b = 9 - 2a     . (III).

Agora iremos na expressão (II) e, nela, substituiremos "b" por "9-2a", conforme vimos na expressão (III). Vamos apenas repetir a expressão (II), que é sta:

ab = 9 ---- substituindo-se "b" por "9-2a", teremos:

a*(9-2a) = 9 ---- desenvolvendo, teremos:

9a - 2a² = 9 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:

0 = 9 - 9a + 2a² ----- ordenando, e invertendo, teremos:

2a² - 9a + 9 = 0 ------ vamos aplicar a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes. A fórmula de Bháskara é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ---- como a equação do 2º grau da sua questão está em "a", então teremos que:

a = [-(-9) ± √(-9)² - 4*2*9)]/2*2 ---- desenvolvendo, teremos:

a = [9 ± √(81 - 72)]/4 ---- como "81-72 = 9", teremos:

a = [9 ± √(9)]/4 ----- como √(9) = 3, teremos:

a = [9 ± 3]/4 ----- daqui você já conclui que:

a' = (9-3)/4 = 6/4 = 3/2 <--- Esta é a primeira raiz. É o valor de a'.

a'' = (9+3)/4 = 12/4 = 3 <--- Esta é a segunda raiz. É o valor de a''.

Agora, para encontrarmos os valores de "b", vamos na expressão (III), que é esta:

b = 9 - 2a ----- substituindo-se "a" por "3/2", teremos:

b = 9 - 2*(3/2)

b = 9 - 6/2

b = 9 - 3

b = 6 <--- Este é o valor de "b", quando "a" = 3/2.

e

b = 9 - 2a ---- substituindo-se "a" por "3", teremos:

b = 9 - 2*3

b = 9 - 6

b = 3 <--- Este é o valor de "b", quando a = 3.

ii.2) Agora veja que teremos os seguintes pares ordenados (a; b). Note que para a = 3/2, temos b = 6; e para a = 3, temos b = 3 também. Assim, os pares ordenados (a; b) serão estes:

(3/2; 6); (3; 3) <--- Esta é a resposta.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.