Calcule o 15 Termo das a PA

a- (47,10,__)

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Boa noite! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (47, 10, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 47

b)décimo quinto termo (a₁₅): ?

c)número de termos (n): 15 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 15º), equivalente ao número de termos.)

(II)Determinação da razão (r) da progressão geométrica:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ =>

r = 10 - 47 =>

r = -37

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.G, para obter-se o décimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r =>

a₁₅ = 47 + (15 - 1) . (-37) =>

a₁₅ = 47 + (14) . (-37) (No segundo termo, aplica-se a rega de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo.)

a₁₅ = 47 - 518 (Veja a Observação 1 abaixo.)

Observação 1: Regra de sinais da subtração: em caso de sinais diferentes, subtrai e conserva o sinal do maior módulo (de forma simplificada, módulo pode ser entendido como o número desconsiderando-se o sinal). Assim, entre 47 e 518, o maior será 518, razão pela qual o seu sinal (negativo) será conservado.)

a₁₅ = -471

RESPOSTA: O décimo quinto termo da PA(47, 10, ...) é -471.

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

1ª FORMA: -Substituindo a₁₅ = -471 na fórmula do termo geral da PA, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:

an = a₁ + (n - 1) . r =>

a₁₅ = 47 + (15 - 1) . (-37) =>

-471 = 47 + (15 - 1) . (-37) =>

-471 = 47 + (14) . (-37) =>

-471 = 47 - 518 => (Veja a Observação 1 acima.)

-471 = -471

2ª FORMA: Cálculo de termo a termo, sabendo-se que a₁=5 e r=4:

Observação 2: Este segundo meio de prova real é recomendado apenas nos casos de termos de pequena ordem (até os vinte primeiros termos), em razão de exigir muitos cálculos.

a₁ = 47

a₂ = 47 - 37 = 10

a₃ = 47 - 37 - 37 = -27

a₄ = 47 - 37 - 37 - 37 = -64

a₅ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 = -101

a₆ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 = -138

a₇ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 = -175

a₈ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 = -212

a₉ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 = -249

a₁₀ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 = -286

a₁₁ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 = -323

a₁₂ = 47 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 - 37 = -360