Question

Qual o termo independente de x no desenvolvimento de (x² + 1/√x)^10?

Answer 1

Responderei de duas formas, uma visando objetividade e outra didática.

A resposta correta é 9° termo, que vale 45.

1. Resolução direta

Nessa resolução apresentarei a fórmula genérica de um termo no Binômio de Newton e demonstrarei a aplicação. Como queremos um termo independente, o valor dos expoentes de x deverão ser 0.

Usarei as seguintes fórmulas:

$\rhd~~~\mathsf{T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot a^{n-p}\cdot b^{p}}\\\\\\ \rhd~~~\mathsf{\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}}$

Vamos aos cálculos, descobrindo qual é o termo. Inicio manipulando a expressão.

$\mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}=\left(x^{2}+x^{-1/2}\right)^{10}}$

No Termo do Binômio:

$\displaystyle\mathsf{T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot\left(x^{2}\right)^{n-p}\cdot\left(x^{-1/2}\right)^p}\\\\\\ \displaystyle\mathsf{T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot\left(x^{2}\right)^{10-p}\cdot x^{-p/2}}\\\\\\ \displaystyle\mathsf{T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot x^{20-2p}\cdot x^{-p/2}}$

Igualando expoentes a zero...

$\mathsf{\left(20-2p\right)+\dfrac{-p}{2}=0}\\\\\\ \mathsf{-2p+\dfrac{-p}{2}=-20}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-4p-p}{2}=-20}\\\\\\ \mathsf{-5p=-40}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{-40}{-5}=8}$

O termo que queremos tem p igual a 8, então, vamos aos cálculos.

$\displaystyle\mathsf{T_{8+1}=\binom{10}{8}\cdot\left(x^2\right)^{10-8}\cdot\left(x^{-1/2}\right)^8}\\\\\\ \displaystyle\mathsf{T_{9}=\dfrac{10!}{8!\cdot2!}\cdot\left(x^2\right)^{2}\cdot x^{-8/2}}\\\\\\ \displaystyle\mathsf{T_{9}=\dfrac{90}{2}\cdot x^4\cdot x^{-4}}\\\\\\ \displaystyle\mathsf{T_{9}=45\cdot x^0}\\\\\displaystyle\mathsf{T_{9}=45}$

Como demonstrado, o termo independente é o nono, que vale 45.

2. Resposta menos obj.

Essa questão tem uma "pegadinha" inicial, pois não é possível aplicar o binômio de Newton nesse produto notável enquanto dessa forma - é necessário o manipular um pouco.

O primeiro passo é deixar os dois termos com um mesmo denominador. Veja:

$\begin{array}{rl} \mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}}&~\mathsf{=\left(x^2+\dfrac{1}{x^{1/2}}\right)=\left(\dfrac{x^{1/2}\cdot x^2}{x^{1/2}}+\dfrac{1}{x^{1/2}}\right)^{10}}\\\\\\ &~\mathsf{=\left(\dfrac{x^{5/2}+1}{x^{1/2}}+\dfrac{1}{x^{1/2}}\right)^{10}=\left(\dfrac{x^{5/2}+1}{x^{1/2}}\right)^{10}}\\\\\\ &~\mathsf{=\dfrac{(x^{5/2}+1)^{10}}{\left(x^{1/2}\right)^{10}}=\dfrac{(x^{5/2}+1)^{10}}{x^{10\cdot\left(1/2\right)}}}\\\\\\ &~\mathsf{=\dfrac{(x^{5/2}+1)^{10}}{x^5}=(x^{5/2}+1)^{10}\cdot\dfrac{1}{x^5}} \end{array}$

De início, vamos trabalhar apenas com o produto notável, que destaco abaixo.

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{(x^{5/2}+1)^{10}}}\cdot\dfrac{1}{x^5}}$

Como queremos saber apenas do termo independente de x - ou seja, o termo que não está acompanhado pelo x -, podemos aplicar o Binômio de Newton e desenvolver apenas os 3 últimos termos.

É possível desenvolver e descobrir termos, porém, é um processo cansativo e desnecessário agora.

• Binômio de Newton

Para a aplicação do Binômio de Newton usaremos as seguintes expressões:

$\begin{array}{l} \rhd~~~\displaystyle\mathsf{(a+b)^n=\sum^n_{p=0}\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^p}\\\\\\ \rhd~~~\displaystyle\mathsf{\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}} \end{array}$

No nosso produto notável o Binômio de Newton irá ser montado da seguinte maneira:

$\displaystyle\mathsf{\binom{10}{0}\left(x^{5/2}\right)^{10-0}\cdot1^0+\binom{10}{1}\left(x^{5/2}\right)^{10-1}\cdot1^1+\cdots\binom{10}{9}\left(x^{5/2}\right)^{10-9}\cdot1^9+\binom{10}{10}\left(x^{5/2}\right)^{10-10}\cdot1^{10}}$

Como comentado acima, vai ser necessário desenvolver apenas os três últimos termos, então, vamos aos cálculos.

$\displaystyle\mathsf{\binom{10}{8}\left(x^{5/2}\right)^{10-8}\cdot1^8+\binom{10}{9}\left(x^{5/2}\right)^{10-9}\cdot1^9+\binom{10}{10}\left(x^{5/2}\right)^{10-10}\cdot1^{10}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{10!}{8!\cdot(10-8)!}\left(x^{5/2}\right)^{2}\cdot1+\dfrac{10!}{9!\cdot(10-9)!}\left(x^{5/2}\right)^{1}\cdot1+\dfrac{10!}{10!\cdot(10-10)!}\left(x^{5/2}\right)^{0}\cdot1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2!}\cdot x^5+\dfrac{10\cdot9!}{9!\cdot1!}\left(x^{5/2}\right)+\dfrac{10!}{10!\cdot(10-10)!}\cdot1\cdot1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{90}{2}\cdot x^5+10\cdot\left(x^{5/2}\right)+1}\\\\\\ \mathsf{45\cdot x^5+10\cdot\left(x^{5/2}\right)+1}\\\\\\ \mathsf{45x^5+10x^{5/2}+1}$

Tendo esses 3 últimos termos, podemos e devemos usar a fração que havíamos deixado de lado de início. É importante destacar a seguinte "propriedade":

$\mathsf{\dfrac{1}{a}\cdot\left(b+c+d\right)=\dfrac{b+c+d}{a}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{a}}$

Utilizando o que foi mostrado acima no nosso caso, teremos:

$\mathsf{\left(45x^5+10x^{5/2}+1\right)\cdot\dfrac{1}{x^5}=\dfrac{45x^5}{x^5}+\dfrac{10x^{5/2}}{x^5}+\dfrac{1}{x^5}=\underbrace{\mathsf{45}}+\dfrac{10x^{5/2}}{x^5}+\dfrac{1}{x^5}}$

Eis nosso termo independente: 45

Como o binômio inicia sua contagem no 0 (e não no 1), pode-se deduzir que a posição do termo é equivalente a 8 + 1, ou seja, 9.

Answer 2

vamos lá!

Tk+1=(n,k)• (a)^n-k.(b)^k

Tk+1=(10,k)•(x^2)^10-k•(1/√x)^k

=> x^20-2k•(1/x^1/2)^k

=> x^(20-2k-1/2k)

=>x^(40-4k-k)

=>x^(40-5k)

x^(40-5k)=x^0

40-5k=0

-5k=-40

k=-40/-5

k=8

vamos substituir::

T8+1=(10,8).(1)

T9=10!/2!8!

T9=10.9.8!/2!8!

T9=90/2.1

T9=90/2

T9=45

o termo independente é o nono e seu valor será 45

espero ter ajudado!

boa tarde!