Question

Determinar a equação da circunferência com centro C ( 1,3) e que é tangente à reta s de equação x + y + 2 = 0

Answer 1

Olá!

De acordo com o enunciado acima podemos notar que:

• O $\textbf{raio}$ mede a distância do $\textbf{Centro}$ da circunferência a recta tangente.

Portanto, temos que a fórmula da distância é:

$d = \frac{| ax_o + by_o + c|}{ \sqrt{a^2 + b^2} }$

• Através da recta $\textbf{s}$, temos que:
$\\ \begin{cases} a= 1 \\ b = 1 \\ c = 2 \end{cases}$

• No $\textbf{Centro}$ temos duas componentes, $\textbf{x}$ e $\textbf{y}$.
$\\ \begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$

Logo,

$d = \frac{| 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2|}{ \sqrt{1^2 + 1^2} } \\ d = \frac{| 1 + 3 + 2|}{ \sqrt{1 + 1} } \\ d = \frac{|6|}{ \sqrt{2} } \\ d = \frac{6}{ \sqrt{2} } \\ d = 3 \sqrt{2}$

Portanto, temos que o raio é equivalente a distância e vice-versa, logo:

$(x -a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-1)^2 + (y -3)^2 = \big( 3 \sqrt{2} \big)^2 \\ (x-1)^2 + (y-3)^2 = 9 \cdot 2$

$\boxed{\maths{(x-1)^2 + (y-3)^2 = 18} }$


Boa interpretação!

Answer 2

Olá!!!

Resolução!!!

C ( 1, 3 ) é tangente a reta (s) x + y + 2 = 0

**

x = 0

x + y + 2 = 0
0 + y + 2 = 0
y + 2 = 0
y = - 2

A ( 0, - 2 )

y = 0

x + y + 2 = 0
x + 0 + 2 = 0
x + 2 = 0
x = - 2

B ( - 2, 0 )

**

A ( 0, - 2) e B ( - 2, 0) → é as coordenadas da reta que é tangente a circunferência.

**

C ( 1, 3) e B ( - 2, 0)

Encontrar o raio da circunferência!

R² = ( x - xc)² + ( y - yc)²

R² = ( - 2 - 1)² + ( 0 - 3)²
R² = ( - 3)² + ( - 3)²
R² = 9 + 9
R² = 18
R = √18
R² = √3² • 2
R² = 3√2 → raio

Equação da circunferência

( x - xc)² + ( y - yc)² = R²
( x - 1)² + ( y - 3)² = ( 3√2)²
( x - 1)² + ( y - 3)² = 9 • 2
( x - 1)² + ( y - 3)² = 18 → Eq. reduzida
(x)² - 2•x•1 + 1² + (y)² - 2•y•3 + 3² = 18
x² - 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 18
x² + y² - 2x - 6y + 9 + 1 - 18 = 0
x² + y² - 2x - 6y - 8 = 0 → Eq. geral

**

Espero ter ajudado!!!