Question

Maria saiu de cass para fazer compras e gastou tudo o que tinha em cinco lojas diferentes. Em cada loja, ela gastou a metade do que tinha ao entrar nesta loja mais $10,00. Qual a soma dos algarismos que compõem a quantia que maria tinha ao sair de casa?

Answer 1

Resposta: O valor inicial que Maria tinha ao sair de casa é de $R\ 2\,260.00$, portanto, a soma dos algarismos é $10$.

Explicação passo-a-passo: Vamos assumir que o valor que Maria tinha ao sair de casa é $x$. Como a cada loja que ela entra, ela gasta metade do que tinha ao entrar na loja somado com R$ 10.00, então:

• Primeira loja:

$l_1 = \dfrac{x}{2} + 10$

• Segunda loja:

$l_2 = \dfrac{l_1}{2} + 10 = \dfrac{\left( \frac{x}{2} + 10 \right)}{2} + 10 = \dfrac{\frac{x}{2}+10+20}{2} \\\\\\l_2 = \dfrac{\frac{x}{2}+30}{2} = \dfrac{\frac{x}{2}}{2} + \dfrac{30}{2} = \dfrac{x}{4} + 15$

• Terceira loja:

$l_3 = \dfrac{l_2}{2} + 10 = \dfrac{\frac{x}{4} + 15}{2} + 10 = \dfrac{\frac{x}{4} + 15 + 20}{2} \\\\\\l_3 = \dfrac{\frac{x}{4} + 35}{2} = \dfrac{\frac{x}{4}}{2} + \dfrac{35}{2} = \dfrac{x}{8} + 17.5$

• Quarta loja:

$l_4 = \dfrac{l_3}{2} + 10 = \dfrac{\frac{x}{8} + 17.5}{2} + 10 = \dfrac{\frac{x}{8} + 17.5 + 20}{2} \\\\\\l_4 = \dfrac{\frac{x}{8} + 37.5}{2} = \dfrac{\frac{x}{8}}{2} + \dfrac{37.5}{2} = \dfrac{x}{16} + 18.75$

• Quinta loja:

$l_5 = \dfrac{l_4}{2} + 10 = \dfrac{\frac{x}{16} + 18.75}{2} + 10 = \dfrac{\frac{x}{16} + 18.75 + 20}{2} \\\\\\l_5 = \dfrac{\frac{x}{16} + 38.75}{2} = \dfrac{\frac{x}{16}}{2} + \dfrac{38.75}{2} = \dfrac{x}{32} + 9.375$

Como ela gastou tudo o que tinha, a soma do que ela gastou é igual a soma do que ela tinha no inicio. Então

$x = \dfrac{x}{2} + 10 + \dfrac{x}{4} + 15 + \dfrac{x}{8} + 17.5 + \dfrac{x}{16} + 18.75 + \dfrac{x}{32} + 9.375 \\\\x = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{x}{16} + \dfrac{x}{32} + 10 + 15 + 17.5+ 18.75 + 9.375 \\\\x = \dfrac{16x}{32} + \dfrac{8x}{32} + \dfrac{4x}{32} + \dfrac{2x}{32} + \dfrac{x}{32} + 70.625 \\\\x = \dfrac{31x}{32} + 70.625 \\\\x - \dfrac{31x}{32} = 70.625 \\\\\dfrac{32x - 31x}{32} = 70.625 \\\\x = 32 \cdot 70.625 = 2\,260$

Portanto, quando ela saiu de casa, ela tinha $R\ 2\,260.00$. A soma dos algarismos é $2 + 2 + 6 + 0 = 10$.