Question

Considere o sistema de equações lineares
x + 2 y + 2 z =1
x +ay + 3z=3
x+11y+az =b
onde a, b ∈ R em que cada equação representa a equação de um plano.
Nessas condições, é correto afirmar que se
a) a = −1 e b = 4 , os três planos são paralelos.
b) a = 5 e b = 7 , a interseção dos três planos é uma reta.
c) a ≠ −1 , então os três planos se interceptam em um único ponto.
d) a = −1 e b = −5 , a interseção dos planos é um único ponto.
e) b ≠ 5 e b ≠ 7 , os planos se interceptam 2 a 2, segundo uma
reta, para todo a ∈ R.

Answer 1

Se a = 5 e b = 7, então a interseção dos três planos x + 2y + 2z = 1, x + ay + 3z = 3 e x + 11y + az = b é uma reta.

Com esses valores, obtemos o seguinte sistema:

{x + 2y + 2z = 1

{x + 5y + 3z = 3

{x + 11y + 5z = 7.

Utilizando o Método de Gauss, vamos escrever o sistema acima na forma de matriz aumentada:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&2|1\\1&5&3|3\\1&11&5|7\end{array}\right]$.

Fazendo L2 ← L2 - L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&2|1\\0&3&1|2\\1&11&5|7\end{array}\right]$.

Fazendo L3 ← L3 - L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&2|1\\0&3&1|2\\0&9&3|6\end{array}\right]$.

Fazendo L3 ← L3 - 3L2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&2|1\\0&3&1|2\\0&0&0|0\end{array}\right]$.

Perceba que a ultima linha da matriz acima é nula. Isso quer dizer que o sistema é possível, porém indeterminado.

Ou seja, o sistema possui infinitas soluções.

Em Geometria Analítica, isso significa que a interseção entre os três planos é uma reta.