Question

Por favor, ajudem-me nessa questão
Seja
$f(x) = \frac{2}{3} \times log_{10} \frac{x}{k}$
Onde
$k = 7 \times {10}^{ - 3}$
Qual é o valor de x para o qual f(x) = 6

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Brenner, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte expressão:

f(x) = (2/3)*log₁₀ (x/k) , sabendo-se que k = 7*10⁻³.

Dadas essas informações, pede-se o valor de "x" para o qual f(x) = 6.

ii) Então vamos igualar f(x) a "6" e vamos substituir o valor de "k" por "7*10⁻³". Então, fazendo isso, teremos:

6 = (2/3)*log₁₀ [x/(7*10⁻³)] ----- note que 10⁻³ = 1/10³ = 1/1.000 . Assim, ficaremos:

6 = (2/3)*log₁₀ [x/(7*1/1.000)] ----- ou apenas:

6 = (2/3)*log₁₀ [x/(7/1.000)] ---- note que temos aqui no logaritmando uma divisão de fração. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então ficaremos assim:

6 = (2/3)*log₁₀ [x*1.000/7] ---- desenvolvendo, ficaremos com:

6 = (2/3)*log₁₀ (1.000x/7) --- vamos passar "2/3" como expoente do logaritmando, ficando assim:

6 = log₁₀ (1.000x/7)²/³ ----- veja que, se aplicarmos a definição de logaritmo, então o que temos aqui nada mais é do que isto:

10⁶ = (1.000x / 7)²/³ ----- e veja que o 2º membro é equivalente a isto:

10⁶ = ∛[1.000x / 7)² ---- para eliminar o radical cúbico, vamos elevar ambos os membros ao cubo, ficando assim:

(10⁶)³ = [∛[1.000x / 7)²]³ ----- desenvolvendo o cubo nos dois membros, ficaremos com:

10¹⁸ = (1.000x / 7)² ------ ou, o que dá no mesmo:

10¹⁸ = (1.000x)² / 7² ---- como 7² = 49, teremos:

10¹⁸ = (1.000x)² / 49 --- multiplicando-se em cruz, teremos:

49*10¹⁸ = (1.000x)² ---- vamos apenas inverter, ficando assim:

(1.000x)² = 49*10¹⁸ ------ isolando "1.000x", teremos:

1.000x =  ± √(49*10¹⁸) ----- mas como "x" deverá ser um número positivo, então vamos "abolir" o sinal de "menos" antes do radical, com o que ficaremos apenas com:

1.000x = √(49*10¹⁸) ---- note que 49 = 7². Logo, ficaremos:

1.000x = √(7² * 10¹⁸) ---- simplificando-se o índice "2" do radical por cada expoente do radicando, então ficaremos apenas com:

1.000x = 7 * 10⁹ ----- note que 10⁹ = 1.000.000.000 . Assim, ficaremos:

1.000x = 7 * 1.000.000.000 ----- efetuando este produto temos:

1.000x = 7.000.000.000 ----- agora isolamos "x" e teremos:

x = 7.000.000.000 / 1.000 ----- veja que esta divisão dá "7.000.000". Logo:

x = 7.000.000 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "x" para que se tenha f(x) = 6 na sua expressão logarítmica originalmente dada.

É isso aí.

Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?

Adjemir.

Answer 2

Resposta:

    x  ~=  4,67  .  10³  ~=  4.670

Explicação passo-a-passo:

..  f(x)  =  2/3  .  Log  x/k,       k = 7 . 10^-3

.                      (Base 10)

..  f(x)  =  6...=>  2/3  .  10^6  =  x/k

..                        2 . 10^6 / 3  =  x / k

..                        3 . x  =  2 . 10^6  .  k

..                        3 . x  =  2 . 10^6  .  7 . 10^-3

..                        3 . x  =  2 . 7 . 10^6 . 10^-3

..                        3 . x  =  14 . 10³

..                        x  =  14  . 10³ / 3

..                        x  ~=  4,67  . 10³

..                        x  ~=  4,67  .  1.000

..                        x  ~=  4.670