Question

Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
(a)Determine a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo t qualquer.
(b)Verifique o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao longo do tempo.

Answer 1

Sabemos que, o tanque contém 2000 litros de uma solução com 40 kg de  soluto, e é despejada uma solução do mesmo soluto com concentração de 100g/ L à uma vazão de 1L/min. Logo a mistura é retirada, à vazão de 2L/min.

Temos então, uma equação diferencial de primeira ordem, onde existem derivadas de primeira ordem em relação a uma variável independente, assim vamos a ter uma variável dependente, a função desconhecida e sua derivada de primeira ordem.

(a)Determine a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo t qualquer.

R: A  variável independente X satisfaz á derivada de primeira ordem X' por tanto, a quantidade (X(t)) e a concentração (C(t)) de soluto no tanque em um tempo (t) é:

$X'= 0, 1 - 2\;*\;(2000 - t)^{-1}$

Para X(0) = 40, temos que:

$X(t) = 0,1\;*\;(96\;*10^{8} (2.000 - t) - 2 - (2.000 - t))$

$C(t) = \frac{X(t)}{(2.000-t)}\\\\C(t) = 0,1\;*\;(96\;*\; 10^{8}(2000 - t) - 3 - 1)$

(b)Verifique o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao longo do tempo.

R: Temos que, para derivada de primeira ordem da quantidade de soluto (X(t)) é menor que zero (0) para qualquer tempo (t) que pertence a (0,2.000), então, a quantidade de soluto vai diminuir ao longo do tempo e por tanto, a  concentração aumentara.

$X'(t) < 0 \; para\; t \in (0,2.000)\\\\X(t) = \uparrow \\C(t) = \downarrow$